广东省佛山市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

-1-广东省佛山市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）椭圆+=1的短轴长为（）A．B．2C．2D．42．（5分）若直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．D．13．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y+3=0的圆心坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）4．（5分）若￢p∨q是假命题，则（）A．p∧q是假命题B．p∨q是假命题C．p是假命题D．￢q是假命题5．（5分）已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的（）A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定6．（5分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中不正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n7．（5分）已知a，b∈R，则“＞”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A．B．﹣1C．D．﹣19．（5分）已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为M，设A为圆上任一点，N（3，0），线段AN的垂直平分线交直线MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线10．（5分）如果对于空间任意n（n≥2）条直线总存在一个平面α，使得这n条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n（）A．最大值为3B．最大值为4C．最大值为5D．不存在最大值-2-二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知空间向量=（x﹣1，1，﹣x），=（﹣x，3，﹣1），若⊥，则x的值为．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为．14．（5分）如图，点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2，若点A从（，0）移动到（，0），则AB中点D经过的路程为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（12分）如图，等腰直角△ABC的直角顶点C（0，﹣1），斜边AB所在的直线方程为x+2y﹣8=0．（1）求△ABC的面积；（2）求斜边AB中点D的坐标．16．（12分）如图，正方体ABC﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．-3-（Ⅰ）求证：A1B∥平面AFC；（Ⅱ）求证：平面A1B1D⊥平面AFC．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，圆C与x轴、y轴都相切，直线l：x+y﹣4=0平分圆C的面积．（1）求圆C的方程；（2）过原点O的直线l1将圆C的弧长分成1：3的两部分，求直线l1的斜率．18．（14分）如图1，在△PBC中，∠C=90°，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，AD⊥PB，将△PAD沿AD边折起到SAD位置，如图2，且使SB=．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．19．（14分）已知曲线C：x2=﹣2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y﹣1=0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k1、k2，试探求k1、k2的关系，并证明你的结论．20．（14分）已知圆：x2+y2=64，圆C与圆O相交，圆心为C（9，0），且圆C上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点P，使得过点P的直线l被圆O与圆C截得的弦长d1、d2的比值总等于同一常数λ？若存在，求点P的坐标及λ的值，若不存在，说明理由．-4-广东省佛山市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）椭圆+=1的短轴长为（）A．B．2C．2D．4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用椭圆的标准方程求解即可．解答：解：椭圆+=1可得b=，椭圆+=1的短轴长为：2．故选：C．点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查．2．（5分）若直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．D．1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用直线平行的充要条件即可得出．解答：解：∵直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，∴，解得a=﹣2，故选：A．点评：本题考查了直线平行的充要条件，属于基础题．3．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y+3=0的圆心坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）考点：圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由方程x2+y2﹣2x+4y+3=0可得（x﹣1）2+（y+2）2=2，即可得到圆心的坐标．解答：解：由方程x2+y2﹣2x+4y+3=0可得（x﹣1）2+（y+2）2=2，-5-∴圆心坐标为（1，﹣2）．故选：B．点评：本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题．4．（5分）若￢p∨q是假命题，则（）A．p∧q是假命题B．p∨q是假命题C．p是假命题D．￢q是假命题考点：复合命题的真假．专题：常规题型．分析：由题意，可得￢p，q的真假性，进而得到正确选项．解答：由于￢p∨q是假命题，则￢p是假命题，q是假命题，所以p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，￢q是真命题，故选A．点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．5．（5分）已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的（）A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：写出命题P与命题q的条件与结论，再根据四种命题的定义判断即可．解答：解：命题P：正数a的平方不等于0；命题q：“a不是正数，则它的平方等于0”；满足否命题的定义，故命题P是命题q的否命题．故选：B．点评：本题考查四种命题的定义；基本知识的考查．6．（5分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中不正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：利用在与平面，直线与直线的平行与垂直的判定定理以及性质定理推出结果即可．解答：解：若m⊥α，m⊥β，则α∥β，满足平面与平面平行的判定定理，所以A正确；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足满足直线与平面平行的性质，所以B正确；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，满足平面与平面垂直的性质，所以C正确；若m∥α，α∩β=n，则m∥n，也可能得到m，n是异面直线，所以D不正确．故选：D．点评：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面平行与垂直的判断与性质，考查基本知识的应用．-6-7．（5分）已知a，b∈R，则“＞”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：分别解出关于＞以及log2a＞log2b”的a，b的范围，从而得到答案．解答：解：由＞，解得：a＞b≥1，由log2a＞log2b解得：a＞b＞0，故“＞”是“log2a＞log2b”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考察了充分必要条件，考察二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题．8．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A．B．﹣1C．D．﹣1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过题意画出图形，利用勾股定理及椭圆的定义计算即得结论．解答：解：不妨设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），则M点必在y轴上，如图，连结PF2，∵△MF1F2为正三角形，∴PF1=MF1=F1F2=c，PF2==c=2a﹣c，∴2a=（+1）c，即e==，故选：A．-7-点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．9．（5分）已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为M，设A为圆上任一点，N（3，0），线段AN的垂直平分线交直线MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：已知圆（x+2）2+y2=16，易知圆心和半径．A为圆上任一点和N（2，0），线段AN的垂直平分线上任一点到两短点的距离相等且交MA于点P．有PN=PA，所以PM﹣PN=AM=4，即为动点P到两定点M、N的距离之差为常数4，根据双曲线的定义可得结论．．解答：解：已知圆（x+2）2+y2=16，则的圆心M（﹣2，0），半径为4．A为圆上任一点，且AM=4N（3，0），线段AN的垂直平分线上任一点到两端点的距离相等且交MA于点P．有PN=PA所以PM﹣PN=AM=4即为动点P到两定点M、N的距离之差为常数4，所以动点P的轨迹是双曲线．故选：C．点评：求点的轨迹方程常用的有定义法、待定系数法、直译法和间接法．其中定义法是最快捷的．这里就直接利用了双曲线的定义直接得到结论．10．（5分）如果对于空间任意n（n≥2）条直线总存在一个平面α，使得这n条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n（）A．最大值为3B．最大值为4C．最大值为5D．不存在最大值考点：平面的基本性质及推论．专题：探究型．分析：分别探究直线的条数为2、3、4的情况，由线面角的定义、线线位置关系以及空间几何体进行判断．解答：解：当2条直线时，一定作出与它们都平行的平面，故这两条直线与平面所成的角是0度；当3条直线时，当它们共面时，一定存在平面与它们所成的角相等；不共面时，一定可以它们平移到一点，构成一个椎体，则存在一个平面作为椎体的底面，并且使得此底面与三条直线所成的角相等；-8-当为4条直线时，且三条在一面内，另一条在面外，则面内3条要与一面成角等的话必须是0度，但另一条不可能也成0度，故不存在符合题意的平面．故选A．点评：本题是一个探究型的题目，需要耐心的一一进行分析，可以借助于空间几何体和反例进行说明，必须做到脑中有图，考查了分析、解决问题和空间信息能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知空间向量=（x﹣1，1，﹣x），=（﹣x，3，﹣1），若⊥，则x的值为﹣1或3．考点：空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：由⊥，可得=0，解出即可．解答：解：∵⊥，∴=﹣x（x﹣1）+3+x=0，化为x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1．故答案为：﹣1或3．点评：本题考查了向量垂直与数量积之间的关系，考查了计算能力，属于基础题．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为2．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△AB0及其内部，再将目标函数z=x+y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z=x+y取得最大值2．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△AB0及其内部，其中A（2，0），B（2，﹣2），O为坐标原点．设z=F（x，y）=x+y，将直线l：z=x+y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（2，0）=2故答案为：2-9-点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单