机器人学

第2章机器人运动学运动学研究的问题：手在空间的位姿及运动与各个关节的位姿及运动之间的关系。其中：正问题：已知关节运动，求手的运动。逆问题：已知手的运动，求关节运动。一、机器人位姿的表示1、位置的表示坐标系建立后，任意点p在空间的位置可以用一个3×1的位置矢量来描述；例如，点p在{A}坐标系中表示为：ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)ｚｙｘｏ2.1机器人的位姿描述xAyzpPpp{A}2、姿态（或称方向）的表示刚体的姿态可以用附着于刚体上的坐标系（用{B}表示）来表示；因此，刚体相对于坐标系{A}的姿态等价于{B}相对于{A}的姿态。坐标系{B}相对于{A}的姿态表示可以用坐标系{B}的三个基矢量xB、yB和zB在{A}中的表示给出，即[AxBAyBAzB],它是一个3×3矩阵，它的每一列为{B}的基矢量在{A}中的分量表示。2.1机器人的位姿描述即：2.1机器人的位姿描述),cos(),cos(),cos()A,cos()A,cos(),cos()A,cos(),cos(),cos(BBBBBBBBBzzAyzAxzAzyyyxyAzxyxAxxARABB[]BABABAAAAABBBBABABABABABAxxyxzxRxyzxyyyzyxzyzzzggggggggg基矢量都是单位矢量，因此，上式又可以写成：2.1机器人的位姿描述•称为坐标系{B}相对{A}的旋转矩阵。旋转矩阵的性质：1、三个列向量两两正交。2、每一行是{A}的基矢量在{B}中的分量表示。3、旋转矩阵是正交矩阵，其行列式等于1。4、它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即：ABR1AATBBBARRR3、位姿的统一表示定义一组四向量矩阵[RP]，如图。其中，R表示{j}相对{i}的姿态，P表示{j}的原点相对{i}的位移。我们可以将{j}坐标系相对{i}坐标系描述为：ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjp{j}{}iijjorgRp2.1机器人的位姿描述•2.2.1、不同直角坐标系表示之间的关系1、平移设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿态，但它俩的坐标原点不重合，若用3×1矩阵iPjorg表示坐标系{j}的原点相对坐标系{i}的表示，则同一向量在两个坐标系中的表示的关系为：2.2齐次变换及运算ijijorgPPP2、旋转设坐标系{i}和坐标系{j}的原点重合，但它俩的姿态不同。设有一向量P，它在{j}坐标系中的表示为jP，它在{i}中如何表示？考虑分量：即：2.2齐次变换及运算ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjpiijjpRpiiijjxijjyijjzipxppyppzpggg3、另一种解释对同一个数学表达式可以给出多种不同的解释，前面介绍的是同一个向量在不同的坐标系的表示之间的关系。上述数学关系也可以在同一个坐标系中解释的向量的“向前”移动或旋转，或则，坐标系“向后”的移动或旋转。例如:2P=R1P2.2齐次变换及运算4、常用的旋转变换①、绕z轴旋转θ角坐标系{i}和坐标系{j}的原点合，坐标系{j}的坐标轴方向相对于坐标系{i}绕轴旋转了一个θ角。θ角的正负一般按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆时钟为正。2.2齐次变换及运算ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθθ3.2齐次变换及运算2020年2月8日星期六jjjiiizyxzyx1000cossin0sincos上式也可以表示坐标系固定，向量绕Z轴反向转动θ角。cossin0()sincos0001ZR②、绕x轴旋转α角的旋转变换矩阵为：2.2齐次变换及运算ｙiｚiｘiｏiｚjｙjｘjｏjαα③绕y轴旋转β角的旋转变换矩阵为：2.2齐次变换及运算ｘiｙiｚiｏiｚjｙjｘjｏjββ•绕任意轴的转动设绕k轴转动θ角，则旋转矩阵为：其中：2.2齐次变换及运算•若给定一旋转矩阵:•则可计算出：2.2齐次变换及运算111213212223313222R()Krrrrrrrrr2.2齐次变换及运算•5、联合（平移+旋转）设坐标系{i}和坐标系{j}坐标原点不重合并具有不同的姿态。则空间任一矢量在坐标系{i}和坐标系{j}之间有以下关系：i'''iiiorgijijjorgijijjorgpppRppRpp若坐标系{i}和坐标系{j}之间是先旋转变换，后平移变换，则上述关系是应如何变化？2.2齐次变换及运算iijijjorgpRpp（）例：已知坐标系{B}的初始位置与坐标系{A}重合，首先坐标系{B}沿坐标系{A}的x轴移动12个单位，并沿坐标系{A}的y轴移动6个单位，再绕坐标系{A}的z轴旋转30°，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某点在坐标系{B}中的矢量为，求该点在坐标系{A}中的矢量。2.2齐次变换及运算kjirB095解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：，则：2.2齐次变换及运算2020年2月8日星期六0612ABp1000866.05.005.0866.0100030cos30sin030sin30cosABR0794.13830.110951000866.05.005.0866.00612BABABArRpr1、齐次坐标的定义空间中任一点在直角坐标系中的三个坐标分量用表示，若有四个不同时为零的数与三个直角坐标分量之间存在以下关系：则称是空间该点的齐次坐标。2.2齐次变换及运算2.2.2、齐次坐标变换),,(zyxkzzkyykxx,,),,,(kzyx),,,(kzyx以后用到齐次坐标时，一律默认k=1。2.2齐次变换及运算iijijjorgpRpp2、齐次坐标变换为何使用齐次坐标在进行联合变换时，变换关系为：将其写成统一的矩阵形式则有：2.2齐次变换及运算110001000cossin0sincos1jjjzyxiiizyxpppzyx11ijijppM式中，——齐次坐标变换矩阵，它是一个4×4的矩阵。ijM①齐次坐标变换矩阵的意义若将齐次坐标变换矩阵分块，则有：意义：左上角的3×3矩阵是两个坐标系之间的旋转变换矩阵，它描述了姿态关系；右上角的3×1矩阵是两个坐标系之间的平移变换矩阵，它描述了位置关系，所以齐次坐标变换矩阵又称为位姿矩阵。2.2齐次变换及运算1010001000cossin0sincos,ijzijzyxijpRpppM联合变换与单步齐次变换矩阵的关系：任何一个齐次坐标变换矩阵均可分解为一个平移变换矩阵与一个旋转变换矩阵的乘积，即：2.2齐次变换及运算100000010001000100011000zzzyyyxxxzyxzzzzyyyyxxxxijaonaonaonppppaonpaonpaonM齐次变换的逆变换2.2齐次变换及运算)(101000)(1)(0)(0100)(0)(cos)()sin(0cossin)(0)(sin)(cos0sincos1ijTijijTijTijzyxzyxzyxjiRRpRRpppppppppM齐次变换的逆变换若齐次坐标变换矩阵为：则：2.2齐次变换及运算101000ijijzzzzyyyyxxxxijpRpaonpaonpaonM1000101apaaaopooonpnnnpRRMMzyxzyxzyxijTijTijijji（2）齐次变换矩阵（D-H矩阵）③联合变换与单步齐次矩阵的关系当空间有任意多个坐标系时，若已知相邻坐标系之间的齐次坐标变换矩阵，则由坐标变换原理可知：由此可知，建立机器人的坐标系，可以通过齐次坐标变换，将机器人手部在空间的位置和姿态用齐次坐标变换矩阵描述出来，从而建立机器人的运动学方程。2.2齐次变换及运算2、齐次坐标变换{0}{i-1}{i}{n}nniinMMMMM1112010机器人运动学小结前面讨论机器人的运动学问题，包括机器人运动方程的表示、求解与实例，以及机器人的雅可比短阵分析和计算等，这些内容是研究机器人动力学和控制的重要基础。对于机器人运动方程的表示，首先用变换矩阵表示机械手的运动方向，用转角(即欧拉角)变换序列表示运动姿态，或用横滚、俯仰和偏转角表示运动姿态。一旦机械手的运动姿态由某个姿态变换矩阵确定之后，它在基系中的位置就能够由左乘一个对应于矢量P的平移变换来确定。这一平移变换，可由笛卡儿坐标、柱面坐标或球面坐标来表示。对于机器人运动方程的求解，分别讨论了欧拉变换解，滚—仰—偏变换解和球面变换解，得出各关节位置的求解公式。