信号与系统第7章概要

第7章数字滤波器结构27.1引言数字滤波器的表示：差分方程和系统函数：)()(1)(1k0rzXzYzazbzHNkkMrrMrNkknyarnxbny01kr)()()(3例如：可以证明:，但它们具有不同的运算结构。211z15.0z8.011)z(H112z5.015.2z3.015.1)z(H113z5.011z3.011)z(H)z()z()z(321HHH运算结构不同，所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响运算的复杂性，后者影响运算速度。此外，在有限精度情况下，运算结构的误差、稳定性也是不同的。4基本结构单元IIR数字滤波器的结构直接型、级联型、并联型FIR数字滤波器的结构直接型、级联型、频率采样型及线性相位型本章主要内容57.2基本结构单元两种表示方法：方框图表示法；流图表示法三种运算：延时，乘以常数和相加。所以DF结构中有三个基本运算单元：单位延时、乘法器和加法器。z-1x(n)x(n-1)x(n)aax(n)x2(n)x1(n)x1(n)+x2(n)x(n)x(n-1)x(n)x2(n)x1(n)x1(n)+x2(n)z-1ax(n)a单位延时乘法加法6例:一阶数字滤波器其方框图及流图结构如下：)1()()1()(101nxanxanybnyx(n)a1b1y(n)a0z-1z-1x(n)a1b1y(n)z-1z-1123654a0节点源节点或输入节点吸收节点或输出节点分支节点相加节点相加节点信号流图是用节点与有向支路描述连续或离散系统的。77.3IIRDF的基本结构一、无限长单位脉冲响应滤波器的特点（1）系统的单位冲激响应是无限长的；（2）信号流图中含有反馈支路；（3）系统函数在有限平面上有极点，存在不稳定现象。二、IIRDF基本结构直接型、级联型、并联型直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型）81．直接型（1）直接I型——由差分方程直接实现)()()(M0N1krnyknyarnxbrk一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。z-1z-1z-1bNb2b1b0x(n)x(n-1)x(n-2)x(n-N)z-1z-1z-1aN-1aNa2a1y(n)y(n-1)y(n-2)y(n-N)..................bN-1w(n)对输入x(n)的M节延时链结构，把每节延时抽头后加权相加，即是一个横向网络。9结构特点：（1）两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。（2）共需(N+M)级延时单元（3）系数ak、br不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。z-1z-1z-1bNb2b1b0x(n)x(n-1)x(n-2)x(n-N)z-1z-1z-1aN-1aNa2a1y(n)y(n-1)y(n-2)y(n-N)..................bN-1w(n)10（2）直接II型（正准型/典范型）直接I型结构的两部分可看成两个独立的网络。原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数不变。把此原理应用于直接I型结构。即：（1）交换两个级联网络的次序；（2）合并两个具有相同输入的延时支路。直接II型。)z()z()z()z(z1z)z(12211kk0rrHHHHabHNkMrMrbH0rr1z)z(NkaH1kk2z11)z(11z-1z-1z-1bNb2b1b0x(n)x(n-1)x(n-2)x(n-N)z-1z-1z-1aN-1aNa2a1y(n)y(n-1)y(n-2)y(n-N)..................bN-1x(n)y(n)z-1z-1z-1aN-1aNa2a1z-1z-1z-1bN-1bNb2b1b0y2(n-1)y2(n-2)y2(n-N)..................直接I型12由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。x(n)y(n)z-1z-1z-1aN-1aNa2a1z-1z-1z-1bN-1bNb2b1b0y2(n-1)y2(n-2)y2(n-N)..................x(n)y(n)z-1z-1z-1aN-1aNa2a1bN-1bNb2b1b0...............直接II型13直接II型结构特点：（1）两个网络级联。第一个有反馈的N节延时网络实现极点；第二个横向结构M节延时网络实现零点。（2）实现N阶滤波器（一般N≥M)只需N级延时单元，所需延时单元最少，故称典范型。（3）同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺点。x(n)y(n)z-1z-1z-1aN-1aNa2a1bN-1bNb2b1b0...............14例7-1：已知IIRDF系统函数，画出直接型的结构流图。解：其对应的差分方程为43214321zz4z2z12z18z27z11z31)z(H)4(18)3(27)2(11)1(3)()4()3(4)2(2)1(12)(16nxnxnxnxnxnynynynynyx(n)y(n)z-1z-1z-1-0.75-271811-31/16-0.1250.251/16z-1注意反馈部分系数符号。16152．级联型（1）系统函数因式分解一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示。将系统函数进行进一步分解，使分子、分母中每个因式的次数不高于2，这样可以使各项系数都是实数。N1k1kM1r1rN1kkkM0rrr)zd(1)zc(1Aza1zb)z(H16（2）基本二阶节的级联结构经过若干分解及整理，可将H(z)分解为实系数二节因子的形式。22i11i22i11iizz1zz1)(zaabbHMiaabbAH122i11i22i11i)zz1(zz1)z(）（x(n)y(n)z-1z-1a1ia2ib1ib2i一般用直接II型（正准型、典范型表示）基本二阶节，即滤波器的二阶节。17（3）用二阶节级联表示的滤波器系统整个滤波器是多个二阶节级联结构特点（a）每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应，调整方面。（b）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累比直接型小。M1ii)z()z(HAHx(n)z-1z-1a11a21b11b21y(n)z-1z-1a1Ma2Mb1Mb2M………………18例7-2：由下列差分方程描述的滤波器，画出其级联结构。解:由差分方程，写出其系统函数应用MATLAB函数dir2cas[b]=[1-311-2718];[a]=[16122-4-1];[b0,B,A]=dir2cas(b,a)%直接型到级联型的型式转换运行结果b0=0.0625B=1.00000.00009.0000;1.0000-3.00002.0000A=1.00001.00000.5000;1.0000-0.2500-0.1250)4(18)3(27)2(11)1(3)()4()3(4)2(2)1(12)(16nxnxnxnxnxnynynynyny43214321z4z2z12z1618z27z11z3z1(z)Hx(n)z-1z-1-1-0.59y(n)z-1z-10.250.125-3-20.625021212120.125z0.25z12z3z10.5zz19z10.625(z)H193．并联型（1）系统函数的部分分式展开将H(z)展成部分分式的形式，就得到并联型的IIR滤波器的结构。“相加”在电路中用并联实现。对于共轭复根部分，可将它们成对地合并为二阶实系数的部分分式。NkkrdAAabH11kk0N1kkM0rrz1z1z)z(MkLkaabbdAAH122k11k11k0k11kk0zz1zz1)z(20实现结构（1）可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点。（2）误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。（3）并联型结构运算速度高。因为可同时对输入信号进行运算。MkLkaabbdAAH122k11k11k0k11kk0zz1zz1)z(（2）基本二阶节的并联结构21例7-3由下列差分方程描述的滤波器画出其并联结构。解根据差分方程，得出对应系统函数为利用MATLAB函数dir2par[b]=[1-311-2718];[a]=[16122-4-1];[b0,B,A]=dir2par(b,a)%直接型到并联型的型式转换运行结果b0=-18；B=-10.0500-3.9500；28.1125-13.3625A=1.00001.00000.5000；1.0000-0.2500-0.1250)4(18)3(27)2(11)1(3)()4()3(4)2(2)1(12)(16nxnxnxnxnxnynynynyny43214321z4z2z12z1618z27z11z3z1z)(H22211211125.025.013625.131125.285.0195.305.1018)(zzzzzzzHx(n)-1z-1-0.5z-1-10.05-3.950.25z-10.125z-128.11-13.36-18y(n)237.3FIRDF的基本结构一、FIRDF的特点（1）系统的单位冲激响应是有限长的；（2）系统函数在|z|0平面上，只有零点，没有极点，所有极点都在z=0处，滤波器永远是稳定的；（3）结构上主要是非递归结构，但有些结构也包含反馈的递归部分，比如频率采样结构。24二、FIR的系统函数及差分方程一个有限长脉冲响应滤波器有如下形式的系统函数其脉冲响应对应差分方程10n)1(1N110zzz)(NnnNbbbbzHnNnbnh其余010)(n)1()1()()(110NnxbnxbnxbnyN25三、FIR滤波器实现基本结构1）横截型结构（直接型）2）级联型结构3）频率抽样型结构4）线性相位结构261.直接型结构（卷积型、横截型）10z)()z(NnnnhH)()()(10mnxmhnyNmz-1x(n)h(0)h(1)z-1h(2)h(N-3)z-1h(N-2)z-1h(N-1)y(n)……z-1x(n)h(N-1)h(N-2)z-1h(N-3)h(2)z-1h(1)z-1h(0)y(n)……or转置27例7-4已知FIR滤波器的单位脉冲响应为试画出其直接型结构。解：)4(21.0)3(11.0)2(72.0)1(3.0)()(nnnnnnh43210.21z0.11z0.72z0.3z1z)(Hz-1x(n)10.3z-10.720.11z-10.21y(n)z-1282.级联型结构当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形成：即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。MiNnnaaanhH122i11i0i10)zz(z)()z(x(n)y(n)z-1z-1a11a21a01z-1z-1a12a22a02z-1z-1a1Ma2Ma0M…29级联型结构特点：由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控制传输零点时用。30例7-5已知FIR滤波器的差分方程432121.011.0