信号与系统课件10-采样定理

三、频率响应H(j)的求法1.H(j)=F[h(t)]2.H(j)=Y(j)/F(j)(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。(2)由电路直接求出。三、频率响应H(j)的求法例1：某系统的微分方程为y´(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)时的响应y(t)。解：微分方程两边取傅里叶变换jY(j)+2Y(j)=F(j)21)()()(jjFjYjHf(t)=e-tε(t)←→11)(jjFY(j)=H(j)F(j)2111)2)(1(1jjjjy(t)=(e-t–e-2t)ε(t)四、无失真传输与滤波线性失真:1、振幅失真:系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减（放大），使各频率分量之间的相对振幅关系发生了变化。2、相位失真：系统对信号中各频率分量产生的相移与频率不成正比，使各频率分量在时间轴上的相对位置发生了变化。这两种失真都不会使信号产生新的频率分量。非线性失真:由信号通过非线性系统产生的，特点是信号通过系统后产生了新的频率分量。四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：信号的传输滤波传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真。四、无失真传输与滤波1、无失真传输（1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为其频谱关系为)()(dttKfty)()(jFKejYdtj系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：K|H(jω)|θ(ω)ω0上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。(2)无失真传输条件：)()(dttKfty)()(jFKejYdtj()()()djtYjHjKeFjdtKjH)()((2)无失真传输条件：对一个冲击响应系统，要实现无失真传输，则即KKjH)(dtoddtd)(无失真传输系统的幅频特性和相频特性理想条件。实际中，传输有限带宽的信号，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。例：系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是(a)(b)10-10π5-500ωω|H(jω)|θ(ω)5-5(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)例：系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是(a)(b)10-10π5-500ωω|H(jω)|θ(ω)5-5(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)该系统是个失真的系统振幅不失真，相位失真振幅不失真，相位不失真振幅不失真，相位失真振幅不失真，相位失真2、理想低通滤波器1|H(jω)|θ(ω)ω0ωC-ωC具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为：dCdtjCCtjgjHe)(,0,e)(2在0~c的低频段内，传输信号无失真（通带内不失真）。冲激响应)]([)(2cdgethtj1F2)(Satg)(22gtSa)(222cgtSacc)()]([)(2dcctjttSagethcd1F2、理想低通滤波器)()]([)(2dcctjttSagethcd1F)()]([)(2dcctjttSagethcd1F实际上是不可实现的非因果系统(why?)。由图可见理想低通滤波器的冲激响应延迟了秒，而且输出脉冲在其建立之前和建立之后都出现振荡现象，这种振荡一直延伸到。实际上,当t0时,输入信号尚未接入，对于现实的物理系统，当然不可能有输出。这里的结果是由于采用了实际上不可能实现的理想化传输特性所致。dt3、物理可实现系统的条件就时域特性而言，一个物理可实现的系统，其冲激响应在t0时必须为0，即h(t)=0，t0响应不应在激励作用之前出现。就频域特性来说，佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足djH2)(djH21)(ln并且称为佩利-维纳准则。（必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。4.9取样定理取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。•信号的取样•采样定理4.9取样定理一、信号的取样所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为取样信号。它是对信号进行数字处理的第一个环节。信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为抽样信号，用fs(t)表示。toTStoTSto()ft()pt()sft)(stfD/A)(nf)(ngA/D)(tg)(tp)(tf数字滤波器量化编码抽样的原理方框图:连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可恢复原连续信号。周期信号需要解决两个问题：1.抽样信号fs(t)的频谱Fs(ω)与原连续信号f(t)的频谱F(ω)的关系；2.在什么条件下可从抽样信号fs(t)中无失真地恢复原连续信号f(t)。频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为间隔周期地延拓，频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权。为抽样角频率，为抽样频率为抽样间隔，假设原连续信号f(t)的频谱为F(ω)，即抽样脉冲p(t)是一个周期信号，它的频谱为()()ftF()()2()sjntnnsnnptPePPnssT2sTssTf11()()()()()2(()()))(snsnssnnftftptFPFFPnPnF所以抽样信号的频谱为在时域抽样（离散化）相当于频域周期化•冲激取样)(tfottosTsT2sT3sT3sT2sT)(tfstsT2sT3sT2osTsTsT3mm)(jF1ssos2s2osssT1jFatsTss如图一连续信号f(t)f(t)0t用取样脉冲序列s(t)(开关函数）进行取样，取样间隔为TS，fS=1/TS称为取样频率。ts(t)1……TS2TS3TS0得取样信号fS(t)=f(t)s(t)×f(t)s(t)fs(t)tf(t)s(t)1……TS2TS3TS0取样信号fS(t)的频谱函数为FS(j)=(1/2)F(j)*S(j)冲激取样信号的频谱s(t)是周期为Ts的冲激函数序列Ts(t)带限信号：f(t)的频谱只在区间（-m，m)为有限值，其余区间为0。冲激取样信号的频谱)()()(tstftfs)(21)(jSjFjFsnssnsTnnTtttsjSs)(])([)]([)]([)(FFFnssnssnsssnjFTnjFTnjFjSjFjF)(1)(1)(21)(21)(×f(t)s(t)fs(t)冲激取样信号的频谱冲激取样信号的频谱f(t)t0×(1)δTs(t)t0Ts2Ts-Ts……=0t……fs(t)Ts2Ts-Ts1F(jω)ω0ωm-ωmω……(ωS)ωSδωs(t)0ωS-ωS21*=0ωm-ωmωS-ωSFS(jω)ω1/TS在画取样信号fS(t)的频谱时，设定ωS≥2ωm（频谱不发生混叠），因此能设法(如利用低通滤波器)从FS(j)中取出F(j)，即从fS(t)中恢复原信号f(t)。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。当时各相邻频谱相互分开当时各相邻频谱相互重叠ms2ms2ssosT1)(jFssosT1)(jF冲激取样信号的频谱如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精辟的回答。抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。二、时域取样定理二、时域取样定理当ωS≥2ωm时，将取样信号通过下面的低通滤波器CCSTjH||,0||,)(其截止角频率ωC取ωmωCωS-ωm。即可恢复原信号。由于fs(t)=f(t)s(t)=f(t)nssnsnTtnTfnTt)()()(H(j)←→h(t)=)(tSaTccS为方便，选ωC=0.5ωS，则TsωC/π=1)2()(tSathS所以根据f(t)=fS(t)*h(t)，有])(2Sa[)()2Sa(*)()()(nsssnsssnTtnTftnTtnTftf只要已知各取样值，就可唯一地确定出原信号f(t)。时域取样定理：一个频谱在区间（-m，m)以外为0的带限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔Ts[Ts1/(2fm)]上的样值点确定。注意：为恢复原信号，必须满足两个条件：（1）f(t)必须是带限信号；（2）取样频率不能太低，必须fs2fm，或者说，取样间隔不能太大，必须Ts1/(2fm);否则将发生混叠。()sfnT()sfnT最低允许的取样频率fs=2fm奈奎斯特频率最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)奈奎斯特间隔()ft()sft()F()sFmmmmsT(a)连续信号的频谱0000tt时域抽样定理的图解：假定号f(t)的频谱只占据的范围，若以间隔对f(t)进行抽样，抽样信号fs(t)的频谱FS(ω)是以ωS为周期重复，在此情况下，只有满足各频移的频谱才不会相互重叠。这样，抽样信号fs(t)保留了原连续信号f(t)的全部信息，完全可以用fs(t)唯一地表示f(t)，或者说，f(t)完全可以由恢复出fs(t)。二、时域抽样定理(,)mmsTms2如果，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种现象称为频率混叠现象。ms2二、时域抽样定理()ft()sft()sft()F()sF()sFmmmmmssTsT(a)连续信号的频谱(b)高抽样速率时抽样信号的频谱(c)低抽样速率时抽样信号的频谱及频谱混叠000000tttsss在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为的理想低通滤波器，即可从抽样信号fs(t)中无失真恢复原连续信号f(t)。连续时间信号的重建mctfsF