信号与系统课后习题与解答第三章

3-1求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。图3-1T2T0)(tfT2T……2E2Et解由图3-1可知，)(tf为奇函数，因而00aan20112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4TTTntnTnEdttnETTdttntfTb所以，三角形式的傅利叶级数（FS）为TtttEtf2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111指数形式的傅利叶级数（FS）的系数为,3,1,0,,4,2,0,021nnjEnjbFnn所以，指数形式的傅利叶级数为TejEejEejEejEtftjtjtjtj2,33)(111113-2周期矩形信号如图3-2所示。若：图3-2T20)(tfT2Et重复频率kHzf5脉宽s20幅度VE10求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。解对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS）的系数22sin12,)(1112212211nSaTEnnEdtEeTTdtetfTFtjnTTtjnn则的指数形式的傅利叶级数（FS）为ntjnntjnnenSaTEeFtf112)(1其直流分量为TEnSaTEFn2lim100基波分量的幅度为2sin2111EFF二次谐波分量的幅度为22sin122EFF三次谐波分量的幅度为23sin32133EFF由所给参数kHzf5可得sTsrad441102,/10将各参数的值代入，可得直流分量大小为V110210201046基波的有效值为)(39.118sin210101010sin210264V二次谐波分量的有效值为)(32.136sin251010102sin21064V三次谐波分量的有效值为)(21.1524sin32101010103sin2310264V3-3若周期矩形信号)(1tf和)(2tf的波形如图3-2所示，)(1tf的参数为s5.0，sT1，VE1；)(2tf的参数为s5.1，sT3，VE3，分别求：（1）)(1tf的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz表示；（2）)(2tf的谱线间隔和带宽；（3）)(1tf与)(2tf的基波幅度之比；（4）)(1tf基波与)(2tf三次谐波幅度之比。解由题3-2可知，图3-2所示周期矩形波形的傅利叶级数为TenSaTEtftjn2,2)(111且基波幅度为TtEEsin22sin21三次谐波幅度为TtEE3sin3223sin321另外，周期信号的频谱是离散的，每两根相邻谱线间的间隔就是基频1。周期矩形信号频谱的包络线是抽样函数，其第一个零点的位置为2n2n211令。注意，频谱还可以表示为频率f的函数。由f2可知，若以f为频谱图的横轴，则谱线间隔就为，第一个零点的位置就为1f。依据以上结论，可得到题中个问题的答案如下：（1）)(1tf的谱线间隔kHzsT1000111带宽（第一零点位置）kHzs20005.011（2）)(2tf的谱线间隔kHzsT31031311带宽kHzs310325.111（3）)(1tf的基波幅度215.0sin12ss)(2tf的基波幅度635.1sin32ss因此)(1tf的基波幅度：)(2tf基波幅度3:16:2（4）)(2tf的三次谐波幅度235.13sin332ss因此)(1tf基波幅度：)(2tf三次谐波幅度1:12:23-4求图3-3所示周期三角信号的傅利叶级数并画出幅度谱。图3-3T2T0)(tfEt解由图3-3可知，该周期三角信号是偶函数，因而0nb即)(tf不包含正弦谐波分量。2)(2220EdttfTaTT,3,1,)(4,4,2,012cos)(8)sin()sin(18)cos(242,2)cos()(22121201201122011221nnEnTnTnEdttntntnTEdttntTETTEdttntfTaTTTTTn从而TtttEEtf2,)5cos(51)3cos(31)cos(42)(1121212幅度谱如图3-4所示。图3-40nc2E24E294E2254E113153-5求图3-5所示半波余弦信号的傅利叶级数。若VE10，kHzf10,大致画出幅度谱。0Ttf(t)E图3-54TT4T解由图可知，)(tf为偶函数，因而0nbEdttTETdttfTaTTTT442202cos1)(1,6,4,2,2cos)1(2,7,5,3,01,2121sin121sin2)1(cos2)1(cos22,)2cos(2cos4)cos()(2240140221nnnEnnEnnnnEdttTntTnTETdttTntTETdttntfTaTTTTn从而TtttttEEtEtEtEtEtEEtf2,)8cos(634)6cos(354)4cos(154)2cos(34)cos(2)8cos(632)6cos(352)4cos(152)2cos(32)cos(2)(11111111111若kHzfVE10,10，则幅度谱如图3-6所示。图3-60nc10kHzf/534103040320203-6求图3-7所示周期锯齿信号的指数形式的傅利叶级数，并大致画出频谱图。图3-7)(tft0TE解图3-7所示周期锯齿信号指数形式的傅利叶级数（FS）的系数,2,1,22112,)(1012010111nnjEnjEtejnTEdteEtTETTdtetfTFTtjnTtjnTtjnn从而22cos212cos2)2sin(21)sin(244222)(1111221111ttEEttEEejEejEejEejEEtftjtjtjtj幅度谱和相位谱分别如图3-8（a）、（b）所示。图3-80nc2E112E2E3E4E1314(a)…0n21121314(b)…3-7利用信号的对称性，定性判断图3-9中各周期信号的傅利叶级数中所含有的频率分量。0-11)(tft(a)图3-92T2T)(tft(b)2T2T0-110-11)(tft(c)2T2T)(tft(d)2T2T0-1101)(tft(e)2T2T)(tft(f)2T2T0-11解（a）如图3-9（a）所示。因为)(tf是偶函数，所以不含正弦波；又因为)(tf是奇谐函数，所以不含直流项和偶次余弦项。综上，)(tf只含奇次余弦分量。（b）如图3-9（b）所示。因为)(tf是奇函数，所以不含正弦波；又因为)(tf是奇谐函数，所以不含偶次余弦项。综上，)(tf只含奇次余弦分量。（c）如图3-9（c）所示。因为)(tf是奇谱函数，所以只包含奇次谐波分量。（d）如图3-9（d）所示。因为)(tf是奇函数，所以只包含正弦分量。（e）如图3-9（e）所示。因为)(tf是偶函数，所以不含正弦项；又因为)(tf是偶谐函数)(2tfTtf即，所以不含奇次谐波分量。综上，)(tf只含有直流和偶次余弦分量。(f)如图3-9（f）所示。因为)(tf是偶谐波函数，所以不包含奇次谐波分含量；又因为21)(tf是奇函数，所以21)(tf只包含正弦分量。综上，)(tf只包含直流和偶次谐波的正弦分量。3-8求图3-10中两种周期信号的傅利叶级数。0E)(tft(a)图3-104T4T43T0E)(tft(b)4T4T43TT解（a）如图3-10（a）所示。此题中的)(tf与题3-4中的信号（记为)(1tf）在图形上相同，只是平移了4T，即4)(1Ttftf由题3-4知，TtttEEtf2,)5cos(51)3cos(31)cos(42)(11212121则TttttEEttttEEtttEETtTtTtEEtf2,)7sin(71)5sin(51)3sin(31)sin(42)7sin(71)5sin(51)3sin(31)sin(4225cos51233cos312cos4245cos5143cos314cos42)(11212121212121212121212121212（b）如图3-10（b）所示。方法一：由于)(tf为偶函数，所以0nb43441)(10434344000EdtEtTEEdttdtTETdttfTaTTTTTT,3,2,1,2cos1)(4,6,2,)(8,8,4,05,3,1,)(4)(423cos)(22cos)(2)cos(8)cos(8)cos(2)cos(82,)cos()(2222222431243143414012101nnnEnnEnnnEnEnnEnnEtdttntTEdttnTEdttnTEtdttntTETdttntfTaTTTTTTTT所以TttttEEtf2,)5cos(251)3cos(91)2cos(21)cos(443)(111112，方法二：此题还可利用单脉冲信号的FT与周期性脉冲信号的FS的系数之间的关系：1)(10nnFTFE图3-110)(tft4T43TT先求如图3-11所示的单脉冲信号)(0tf的FT可利用微积分性质。)('0tf和)(0tf分别如图3-12（a）、（b）所示。由于)]43()4([4)]()([4)(0TtTtTETttTEtf图3-120)('0tft4T43TTTE4TE4(a)0)(0tft4T43TTTE4(b)TE4TE4TE4由FT的微分性质，得4340214)()(TjTjTjeeeTEFj于是14)(43420