固体物理习题3

第三章晶格振动3.1原子质量为m，间距为a的一维单原子链，如果原子的振动位移为naqtAtxncos试求：（1）格波的色散关系；（2）每个原子对时间平均的总能量。解：11nnnnnxxxxxmnnnxxx211(1)式中，,3,2,1nxn为原子位移；为恢复力常数。个原子的运动方程可写成（1）在单原子晶格中，若只计相邻原子的互作用，第n依题设，原子的振动位移可表示为aqntAxaqntAxnaqtAxnnn1cos1coscos11(2)将(2)式代入(1)式，得aqntAxmn1cos2naqtaqntcos21cos因为aqnaqtaqntcos1cosaqnaqtaqnaqtsinsincoscos因此1coscos22aqnaqtAxmn2aqsinx41cosaqx22nnββ故得格波的色散关系为2aqsinmβ4ω22（2）原子链上总能量可写为21nnn2nnxxβ21xm21E其中求和遍及链上的所有原子。dtxxβ21xm21T1ET021nnn2nnT0T021nn2ndtxxβ21T1dtxm21T1naqtAtxncosaq1nωtAcostx1n22T02nAmω41dtxm21T1cosaq1βA21dtxxβ21T12T021nncosaq1βA21Amω41E222ncosaq1βA21Amω41NEε222又因为一维单原子链的色散关系为2aqsinmβ4ω22或者cosaq1m2βω2所以cosaq1βmω21222Amω21ε得平均总能量3.2证明：在由两种不同质量M、m(Mm)的原子所组成的一维复式格子中，如果波矢q取边界值(a为相邻原子间距)，则在声学支上，质量为m的轻原子全部保持不动；在光学支上，质量为M的重原子保持不动。aq2证明：如图所示，设质量为m的轻原子位于2n-1，2n+2，2n+3，...各点；设质量为M的轻原子位于2n-2，2n，2n+2，…各点。amM2n-32n-22n-12n2n+12n+22n+31222122nnnnnxxxxxmnnnxxx212122设试探解为aqntinAex1212aqntinAex22和式中，A为轻原子的振幅；B为重原子的振幅；为角频率；2q为波矢。nnnnnxxxxxm212122212122222nnnxxx令表示原子间的恢复力系数，运动方程写为将试探解代入运动方程有ABeeAmiaqiaq22BAeeBMiaqiaq22经整理变成02cos20cos2222BMAaqBaqAm(1)要A、B有不全为零的解，方程(1)的系数行列式必须等于零，从中解得212224cos2aqmMMmMmmM(2)式中的“+”“－”分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支格波。上式表明，是q的周期函数，边界值，即aqa4141。当q取aq41时，从(2)式得,2,22121Mm将和依次代入(1)式，得到两种原子的振幅比分别为光学支：aqmMaqMBAcos1cos222声学支：MmaqmaqBA1cos2cos22因为,01,01MmmM而且当aq41时，cosaq=0由上式得到0,BBA即0,0AAB即由此可见，当波矢q取边界值时，声学支中轻原子保持不动(A=0)，光学支中重原子也保持不动(B=0)。3.3一维复式格子，原子质量都为m,晶格常数为a，任一个原子与最近邻原子的间距为b,若原子与最近邻原子和次近邻原子的恢复力常数为和，试列出原子的运动方程并求出色散关系。ββ123n-1nn+1n+2N-1Na解：此题为一维双原子链。设第2n1nn1nu,u,u,u2n1,nn,1,n个原子的位移分别为。第1n与第1n个原子属于同一原子，第n与第2n个原子属于同一原子，于是第n和第1n原子受的力分别为1nn1n1n2nuuβuuβfn1n21n2n11nuuβuuβf其运动方程分别为1nn1n1n22n2uuβuuβdtudmn1n21n2n121n2uuβuuβdtudm设格波的解分别为ωtqna21iωta2nqinAeAeuωtqna21iωtqba2nqi1nBeeBu代入运动方程，得iqa122BeAβABβAmωABβBAeβBmω2iqa12整理得0BeββAmωββiqa122210BmωββAeββ221iqa12由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即iqa12221eββmωββ0mωββeββ221iqa12解上式可得212221212222122qasinββββ16m4m2m2mββω21222121212qasinβββ4β11mββ由上式可知，存在两种独立的格波。声学格波的色散关系为21222121212A2qasinβββ4β11mββω21222121212O2qasinβββ4β11mββω光学格波的色散关系为3.4由原子质量分别为两种原子相间排列组成的一维复式格子，晶格常数为，任一个原子与最近邻原子的间距为，恢复力常数为，与次近邻原子间的恢复力常数，试求Mm,ab1β2β（1）格波的色散关系；（2）求出光学波和声学波的频率最大值和最小值。解：（1）只考虑最近邻原子的相互作用12n2n212n2n12nxxβxxβxM2n12n122n12n212nxxβxxβxm得naqωtiqba22nωti12nBeeBxnaqωtiaq22nωti2nAeAex将的值代回方程得到色散关系12n2nx,x2aqsinβββ16mMβMmMm2mMββω2221212212（2）（a）当上式取‘+’号时为光学波cosaq1βββ8mMβMmMm2mMββω221212212o221212212minoβββ16mMβMmMm2mMββω当时：1cosaq当时：1cosaq21212maxoββMmMmMm2mMββω（b）当取‘-’号时为声学波cosaq1βββ8mMβMmMm2mMββω221212212A当时：1cosaq221212212maxAβββ16mMβMmMm2mMββω当时：1cosaq0ωminA3.5证明由N个质量为m的相同原子组成的一维单原子晶格，每单位频率间隔内的振动模式数为2122mωωπ2Nωρ证明：一维单原子链只有一支格波2aqsinω2aqsinmβ2ωm据模式密度的一般表示式sααq3N1α3cqωds2πVωρ（1）因为对一维单原子链波矢空间的波矢密度2πL，且只有一支格波。所以由（1）式得2122mmqωω2a2aqcos2aωqω得2122mqωωπ2Nqω22πLωρ3.6设有一维连续介质，介质的弹性模量为E，线密度为试建立一维波动方程并求弹性波传播的相速度。，解：设有一坐标为x与x+dx间的介质元,t时刻x点处的位移为u=u(x,t),x+dx点处的位移为u+du。于是，应变为xue以E表示弹性模量，按定义，efE式中f是引起形变的力。作用在介质元dx上的净力为dxxuExudxxuuxE22设介质的线密度为，介质元的质量为dx，则有2222tudxdxxuE即2222tuExu(1)这就是连续介质的波动方程，其解为tqxieutxu0,式中，为介质弹性波的角频率；1q为波矢；是波长。将u(x,t)代入(1)式，得到txuEtxuq,,22即Eq2因此，一维介质弹性波传播的相速度为Eq3.7证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波方程22222xuvtu解：如果只计及近邻原子间的相互作用，第n个原子的运动方程为n1n1n2n22uuuβdtudm因为niqa-1nniqa1nueuueu所以第n个原子的运动方程化为niqa-iqa2n2u2eeβdtudm在长波近似下，2iqaiqa21iqa1e0,qa运动方程又化为n22niqa-iqa2n2uqβau2eeβdtudm（1）在长波近似下，当l为有限整数时，1limeuulimiqlanln上式说明，在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集体运动。因此（1）式可统一写成ln222ln2uqβadtudm第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动，正是由这些原子的整体的运动所构成。这些原子偏离平衡位置的位移lnu，即是宏观上的质点位移u。从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离aln可视为连续坐标x，即uAeAeuωtqxiωtalnqiln于是22ln2xuuq（2）式化为22222xuvtu其中mβav是用微观参数表示的弹性波的波速。3.8设有一个由相同原子组成的二维正方点阵，原子质量为M，晶格常数为a，取近邻原子间的恢复力系数为，设原子只作垂直表面的横向振动。试求2)长波极限下格波的传播速度。1)横向晶格振动的色散关系；mlmluuf,,11解：1)设mlu，垂直于晶格平面的位移，如图所示。当只考虑最近邻原子间的互相作用时，由于（l+1，m）原子对它的作用力代表第（l，m）个原子（第l行、m列的原子）第（l－1，m）原子对它的作用力mlmluuf,1,2而1f和2f方向是相反的。（l，m－1）原子对（l，m）原子的3f和4f得第（l，m）个原子所受的力，于是同样处理（l，m+1）原子和作用力aaml,m1,lm1,l1ml,1ml,把(1)式