期权定价的蒙特卡罗模拟方法

1).基本原理根据资产价格呈对数正态分布的假设，模拟出资产在期权持有期内的不同的价格走势，得到资产在期权到期日的不同价格分布，由此根据期权在资产不同价格下的价值得到期权在到期日的价值分布，再取期权在到期日价值的均值作为期权的价格。假定资产价格呈对数正态分布已知资产在时间的价格资产在时间的价格为(0)ttTtSttexp()tttSStzt将期权的持有期T分成n个间隔相等的时段，从资产在期权签约日的价格开始，重复利用上述公式n次可得资产在期权到期日的一个价格,由资产的这个价格估计可得期权在到期日的一个价值估计./tTn0STS买入期权的价值估计式卖出期权的价值估计式重复作这样的模拟m次，可得期权m个可能的价值，再取它们的均值即可得期权的一个价格估计.max{,0}TTXCSSmax{,0}TXTPSS[]rTTCECe[]rTTPEPe例：设有这样一个股票，其现行的市场价格为80元，已知该股票对数收益的均值为8%，对数收益的波动性为25%，无风险资产的收益率为11%。现在有以该股票为标的资产,执行期限为1年的买入期权，确定的股票执行价格为88元，用模拟法确定该期权的价格。2).基本过程设一年有250个工作日，将其分为250个相等的时段，即有1/250t0.080.25080Sexp()tttSStzt0121TTSSSSSTSTCTSTC次数股票价格期权价值次数股票价格期权价值196.714938.7149332699.2367511.23675286.69949027129.96341.96297379.92797028148.277660.277634131.210943.210862965.820370590.756022.7560243060.157860677.14289031114.82926.82896782.56374032130.846842.84677870.92131033105.106317.10626979.3379603478.5908901085.4229503593.194285.1942791189.476931.4769343678.5558201278.9428503782.48832013130.768842.768773887.7551901487.8376103978.6144401562.8926804086.3109701679.5716204191.210323.2103171791.738713.7387084277.6604501866.8866904393.916855.9168541975.1750504481.6391602070.6242604581.5493202174.2558604674.1581302270.2892047105.550717.550742369.9153604877.9229602490.667022.6670194981.9988702577.86832050100.537912.53786计算模拟所得的期权价值的平均值后，再计算现值得期权价格的一个估计0.11[]7.0000536.27rTTCECee用布莱克—舒尔斯模型计算期权的价格012()()rTXCSNdSeNd2012ln(/)(/2)ln(80/88)(0.110.25/2)0.18380.25XSSrTdT210.0662ddT1()0.5729Nd2()0.4736Nd012()()8.497rTXCSNdSeNd两者之间有较大的差距,原因在于模拟的次数只有50次，所得的股票在到期日的价格不能很好地复盖股票在到期日的实际价格分布。增加模拟次数，使得模拟所得的股票在期权到期日的价格尽可能好地复盖实际的价格分布。[]TECC模拟次数100200300500到期日价值7.669.378.889.78期权的价格6.868.397.958.76随着模拟次数的增加，由模拟所得的期权价格同用布莱克—舒尔斯模型计算的期权价格越来越接近，这反映随着模拟次数的不断增多，模拟所得的股票价格越来越接近股票价格的真实分布。01020304050607080485868788898108118128138148158价格频率020406080100120140160180200010203040506070价格频率300次模拟所得的股票价格分布和期权价值分布的直方图模拟所得股票价格分布(已具备对数正态分布的特征)模拟所得期权价值分布用蒙特卡罗模拟方法计算期权价格的过程：(1)输入资产及期权的有关参数时段数n和模拟次数m，并计算；(2)关于作下列模拟和计算：,,,,,,0rTSSXnTt/mi,,2,11,,1,0),exp(1nktztSSkk从开始模拟得0SnTSS}0,max{XTTSSC}0,max{TXTSSP或(3)计算或及期权的价格.][TCE][TPE3).模拟步骤A.模拟次数和计算精度之间的考量。理论上的要求，在模拟时，时段的长度应小，模拟次数应尽可能的多，以便使所得的资产价格估计尽可能涵盖资产价格的真实分布，这会大大增加模拟的计算工作量。4).注意事项对于期限短的期权，可以取一个工作日作为时段的长度，对于期限相对长的期权，可以取一周，或十个工作日作为一个时段，以减少模拟单个价格所需的工作量，同时又能较好的模拟价格走势；对于模拟次数，一般要求不少于1000次，比较理想的次数在5000至10000之间。B.资产价格分布的分析,以及有关参数的估计:收益的均值，收益的波动性，无风险资产的收益率,