数字信号处理-第6章

第六章小波分析的基本原理及其应用第六章小波分析的基本原理及其应用6.1引言6.2连续小波变换6.3离散小波变换6.4小波分析的应用第六章小波分析的基本原理及其应用6.1引言小波分析是当前数学分析和信号处理领域中迅速发展起来的一套新理论、新方法，至今才仅有十余年的历史。与传统的傅里叶(Fourier)变换、加窗傅里叶变换相比，小波变换是一个时间和尺度上的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度分析（MultiscaleAnalysis），从而解决傅里叶变换不能解决的许多问题。因此小波变换被誉为“数学显微镜”。第六章小波分析的基本原理及其应用小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，并且通过物理的直观和信号处理的实际需要经验地建立了反演公式。早在20世纪70年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究都为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年，著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基与多尺度分析。之后，小波分析才蓬勃发展起来，其中，比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲》(TenLecturesonWavelets)对小波的普及起了重要的推动作用。第六章小波分析的基本原理及其应用小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。在许多学科领域，如：信号分析、图像处理、量子力学、军事电子对抗与武器的智能化，计算机分类与识别、数据压缩、医学成像与诊断，地震勘探数据处理、边缘检测、音乐与语音人工合成、大型机械的故障诊断、大气与海洋波的分析、分形力学、流体湍流以及天体力学等方面，都已获得了广泛的应用。其具体的应用实例包括：数学方面的数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等，信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等，图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断、去污等，医学成像方面的缩短B超、CT、核磁共振成像的时间以及提高分辨率，等等。第六章小波分析的基本原理及其应用现如今，信号处理已经成为当代科学技术的重要组成部分。众所周知，信号处理的目的是准确的分析、正确的诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确的重构或恢复。而小波分析的许多应用都可以归结为信号处理的问题。目前，对于平稳的时不变信号，处理的理想工具仍然是傅里叶分析。但是在实际应用中所遇到的信号绝大多数是非平稳的，小波分析为分析这种非平稳信号提供了有效的处理工具。第六章小波分析的基本原理及其应用6.2连续小波变换6.2.1从短时傅里叶变换到小波变换由第五章时频分析部分的介绍可知，短时傅里叶变换通过引入一个滑动的窗函数w(t)，然后对窗函数内的信号与窗函数的乘积进行傅里叶变换，再让窗函数沿时间轴移动，就可得到信号频谱随时间变化的规律。这样，信号x(t)对于给定的窗口函数w(t)的短时傅里叶变换:de)()(),(STFTj-*ΩτxtwxΩt（6.2.2）给出了信号x(t)的时间和频率的二维分布。第六章小波分析的基本原理及其应用对于（6.2.2）式定义的短时傅里叶变换，如果取高斯(Gauss)函数作为窗函数，即4221)()(tetgtwα0（6.2.3）则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯(Gabor)变换:d)()e)((),(GTjtgxΩtΩx（6.2.4）第六章小波分析的基本原理及其应用不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换，由于使用了一个可移动的时间窗函数，使其具有了一定的时间分辨率。但是，它们还存在一些自身的问题，其中最主要的就是时间分辨率与频率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理,我们不可能知道在任何一个时刻存在何种频率分量，最多我们可以了解在某一个时间段上存在的频谱分量。对于时间，我们可以准确地确定某一个时间点，但是频率则是另外的一个概念，它指的是在一个时间段内，某一个量的变化次数，这从频率的定义中就可以看得到。第六章小波分析的基本原理及其应用图6.2.1不同窗宽下分段正弦信号的短时傅里叶变换结果(d)(a)(b)(c)a＝0.01a＝0.001a＝0.00010500100010.500500100010.500500100010.50ga(t)ga(t)ga(t)(a)(b)(c)AMPLITUDE105025020015010050001020304050FREQUENCYTIMEAMPLITUDE15050020015010050001020304050100FREQUENCYTIMEAMPLITUDE10050025020015010050001020304050150FREQUENCYTIMEttt第六章小波分析的基本原理及其应用6.2.2连续小波变换1.连续小波变换的定义设x(t)是平方可积函数，记作，ψ(t)是基小波或“母小波函数”，则)()(2RLtx)(),(d)(1),(*ttxtattxaaWTax(6.2.5)称之为x(t)的连续小波变换。显然，该变换与两个参数a和τ有关，其中a0被称为尺度因子，而τ则反映小波函数在变换中的位移。第六章小波分析的基本原理及其应用之所以命名为小波变换,主要是基于以下两方面的原因：其一，小波的“小”是指它的基函数的支撑区域是有限的，“波”是指基函数是振荡的;母小波则是指所有在变换中用到的窗函数都是由它推导而来，或者说母小波是其它窗函数的原型；其二，变换的概念与短时傅里叶变换是一样的，但是并不像在STFT中得到关于信号的频率参数，而是得到尺度参数，它被定义为频率的倒数。第六章小波分析的基本原理及其应用对这样的定义方式作如下说明：（1）基小波函数可能为复函数，例如Morlet小波的表达式为tjTtt02ee)(/(6.2.6)它是在高斯包络下的负指数函数。（2）尺度因子的作用是将基小波作伸缩变换，在不同的尺度因子下，小波的持续时间随a的加大而增宽。第六章小波分析的基本原理及其应用（3）在ψaτ前面所加的因子的作用是保证在不同的尺度因子下的小波函数的能量保持一致。即，设E=∫|ψ(t)|2dt作为基本小波的能量，则对基本小波进行移位和伸缩后得到的ψaτ(t)的能量为a/1EtatatataEd1d1'22(6.2.7)第六章小波分析的基本原理及其应用2.小波变换与短时傅里叶变换的比较将小波变换与短时傅里叶变换作比较，我们将会看到两者的联系。连续小波变换是短时傅里叶变换的一个发展，它的提出解决了分析的精度问题。两者具有类似的操作，都要与一个“窗函数”相乘，并且变换都是在时间域上分段进行的。小波变换与短时傅里叶变换的不同之处在于：（1）对于加窗后的信号并不是进行傅里叶变换，所以信号变换后的表现形式是不同的；（2）窗函数的宽度在对每一个单独的频谱计算时是变化的，这也是小波变换的一个最显著的特征。第六章小波分析的基本原理及其应用需要明确的是：在小波变换中的尺度类似于地图中的比例尺，大的比例对应的是一个对信号的全局的概略描述，而小的比例则相应地对应于细节性的描述。从信号频率的角度来看，低的频率（大尺度）对应信号的整体信息，而高频率分量则对应于在信号内部隐藏的细节信息。在实际的应用当中，高频分量（对应小波分析的小尺度）一般并不是持续于信号的始终,而是在某些时间段内出现，表现为信号上的尖峰；低频分量通常则是有着长的持续时间。这些是多分辨分析方法的物理基础。在具体计算中，为方便起见，小波变换通常从尺度1开始，其后尺度不断增大，因此对于频率的分析也从高频分析向低频分析的方向进行。在短时傅里叶变换中，不同的时刻和不同的频率上都采用相同的分辨率，而小波变换则对不同的频率分量采取不同的分析精度。第六章小波分析的基本原理及其应用图6.2.2给出了小波变换的分辨率特性的图解。由图示可知，在分析低频成分时采用长的时间窗和短的频率窗，而分析高频成分时则采用短的时间窗和长的频率窗。值得注意的是,小波变换中的变换轴和尺度轴并不是对应于STFT中的时间轴和频率轴，它们只是在变换运算中的计算的样本。第六章小波分析的基本原理及其应用图6.2.2小波变换的分辨率特性的图解时间频率第六章小波分析的基本原理及其应用3.在定义了连续小波变换后，对该表达式进行傅里叶变换,可以得到ΩajΩjΩXaaΩxde)()(π2),(WTj*其中X(Ω)和Ψ(Ω)分别对应于信号x(t)与母小波函数ψ(t)的傅里叶变换。(6.2.8)式可以由傅里叶分析理论简单得到证明：)()()()(**jjXttx所以有)()()(1*ajΩjXaattxa第六章小波分析的基本原理及其应用推出ΩeajΩjΩXaajxd)()(π2),(WT*从以上的表达式可以看到,从频域上来看，对信号进行小波变换的傅里叶变换相当于信号的频谱与小波函数频谱共轭的乘积，因此相应地有如下结论：第六章小波分析的基本原理及其应用（1）如果Ψ(Ω)是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征待分析信号X(Ω)频域上局部性质的能力。例如，对于Morlet小波的频谱便具有这样的特点，如图6.2.3(a)所示它是中心频率在ω0的高斯型函数。tTtt02j/-ee)(420)(e/π)(TT第六章小波分析的基本原理及其应用（2）对应于从母小波函数经过伸缩和平移后得到的小波基而言，膨胀系数a取得越大，则小波基的支撑区域越大，而反映在频域上，则相应的小波基的傅里叶变换的宽度就越大。在后续的部分可以证明：在小波变换的结果中，大的尺度对应的是信号中的低频分量，而小的尺度则对应于信号的高频部分。第六章小波分析的基本原理及其应用（3）采用不同的尺度a作处理时，各个Ψ(aΩ)的中心频率和带宽都不一样，但是它们的品质因数Q却是相同的，即“中心频率／带宽”为常数。仍以Morlet小波为例：当a=1时，ψ(t)的傅里叶变换的中心频率为ω0，带宽为。而取a＝2时,ψ(t/2)的傅里叶变换为，因此这时的中心频率为ω0/2，而相应的带宽也降到，如图6.2.3(b)所示。显然，两种情况下具有相同品质因数，即T/12202-e/2)2(2TTΩT/1TTQ/12//1200第六章小波分析的基本原理及其应用图6.2.3尺度伸缩时小波函数的恒Q性(a)(b)B)()(a/00aBB'第六章小波分析的基本原理及其应用6.2.3连续小波变换的性质根据连续小波变换的定义,可以得到如下的性质：1.叠加性如果x(t)的连续小波变换是WTx(a,τ)，y(t)的连续小波变换是WTy(a,τ)，则z(t)=k1x(t)+k2y(t)的连续小波变换是k1WTx(a,τ)+k2WTy(a,τ)。第六章小波分析的基本原理及其应用2.时移性质如果x(t)的连续小波变换是WTx(a,τ)，则x(t-t0)的连续小波变换是WTx(a,τ-t0)，也就是说，x(t)的时移-t0对应于小波变换的τ移位t0。3.尺度变换如果x(t)的连续小波变换是WTx(a,τ)，则有的连续小波变换是tx0,,WTax。第六章小波分析的基本原理及其应用4.交叉项的性质由于连续小波变换是线性变换，满足叠加性，因此不存在交叉项，但是由它引申出的能量分布函数|WTx(a,τ)|2却有以下交叉项的表现：设x(t)=x1(t)+x2(t)，则有212121cos|),(WT||),(WT|2|),(WT||),(WT||),(WT|222xxxxxxxaaaaa其中和分别是和的辐角。1x2x),(WT1ax),(WT2ax第六章小波分析的基本原理及其应用5.小波变换的内