数字信号处理_IIR数字滤波器的设计

第六章IIR数字滤波器设计IIRDigitalFilterDesign第一节数字滤波器的基本概念一、数字滤波器基本概念数字滤波器:输入输出均为数字信号，经过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。优点：精度高，稳定，体积小，重量轻，灵活，不要求阻抗匹配，能实现模拟滤波器(AF)无法实现的特殊滤波功能。1.数字滤波器的分类（回忆）2.数字滤波器的技术要求3.数字滤波器设计方法概述1、数字滤波器的分类经典滤波器：即一般滤波器（输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过以合适的选频滤波器达到目的）现代滤波器：如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤波器（按随机信号内部的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号）经典滤波器的几种类型：数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：IIR滤波器FIR滤波器N1iiiM0iiiza1zb)z(H1N0nnz)n(h)z(H用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法2、数字滤波器的设计过程3、数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：)(jjje)H(e)H(e幅频特性|H(ej)|：信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。相频特性()：各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带：1|)(|1||1jpeHa阻带：2|)(|||aeHjs过渡带：sp||：阻带截止频率：通带截止频率：通带容限：阻带容限ps1a2a通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为：dBeH20dBeHeH20pp0jjjp)(lg)()(lgdBeH20dBeHeH20ss0jjjs)(lg)()(lg通带截止频率。为，为我们称此时的，时，当3dBdB0.707eHccppjp322)(上式中，归一化为1。|)(|0jeH用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：s平面逼近：模拟滤波器的设计z平面逼近：数字滤波器的设计4、IIR数字滤波器的设计方法先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器N1iiiM0iiiza1zb)z(H即为求滤波器的各系数：iiba和第二节模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如：1)巴特沃斯(Butterworth)滤波器2)切比雪夫(Chebyshev)滤波器3)椭圆(Ellipse)滤波器4)贝塞尔(Bessel)滤波器这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有p,Ωp,s和Ωs。Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带Ω(0~Ωp)中的最大衰减系数s是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数dBeH20dBeHeH20pp0jajajap)(lg)()(lgdBeH20dBeHeH20ss0jajajas)(lg)()(lgΩc称为3dB截止频率：707022jHca.)(dB3jH20ca)(lg滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，有：jsaaaaasHsHjHjHjH)()()()()(*22、巴特沃斯低通滤波器的设计方法(1)巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示：NcajH2211)(N越大，越接近理想滤波器，N越大，滤波器的实现也越复杂。特点：;c;0(2)幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：21()()1()aaNcHsHssj上式表明，极点sk用下式表示：1121()222(1)()kjNNkccsje为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为10()()NcaNkkHsss设N=3，极点有6个，它们分别为23012321334135jccjcjccjcsessesesse取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：))()(()(32323jcjcccaesesssH(3)频率归一化由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为101()()aNkkccHsss式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令p=jλ=jΩ/Ωc，p=s/Ωc称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为101()()aNkkHppp式中，pk为归一化极点，用下式表示：121()22,0,1,,1kjNkpekN带入Ha(p)表达式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：NNNappbpbbpH11101)(归一化的传输函数系数Ha(p)的系数以及极点可以查表得到。表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数(4)阶数N的确定阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该由技术指标确定。将=p代入幅度平方函数中:2)(lg10)(lg20ppjapjapeHeHNcppajH2211)(102101pNcp将=s代入幅度平方函数中:2)(lg10)(lg20ssjasjaseHeHNcssajH2211)(102101sNcs102101pNcp102101sNcs1101101010spNsp,pssp令：110110k1010sppsspsplgklgN用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照下面两式求出：102101pNcp102101sNcsNpcp2110)110(Nscs2110)110(通常是用一个算出Ωc，然后用另一个(反过来)来检验。总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标Ωp,p,Ωs,s，求出滤波器的阶数N。(2)求出归一化极点pk，得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。121()22,0,1,,1kjNkpekNNNNappbpbbpH11101)(spsplgklgNcspaapHsH)()(例：已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：(1)确定阶数N：0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN(2)求极点：归一化传输函数为401()()akkHppp121()22,0,1,,1kjNkpekN上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。不如直接查表简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090±j0.9511、-0.8090±j0.5878、-1.00005432432101()aHppbpbpbpbpb其中：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。)/(2755.52)110(2110sradkNpcp将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：554233245432()10cacccccHssbsbsbsbsb)/(525.102)110(2110sradkNcss检验：可以看出，满足s=30dB的真实fs在10.525kHz处，与12kHz比，还有富裕量。Matlab的实现调用的函数见教材P160：buttap,buttord,butter设计程序见教材P161第三节用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器的系统函数H(z)。因此，它归根结底是一个由S平面映射到Z平面的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换，为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，这个映射变换必须满足以下两条基本要求。(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。即S平面的左半平面必须映射到Z平面单位圆的内部。两条基本要求：工程上常用的转换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法一、脉冲响应不变法的转换原理核心原理：通过对连续函数ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nT)。令h(n)=ha(nT)，T为采样间隔。它是一种时域上的转换方法。转换步骤：)()()()()(zHnhnThthsHZaaa变换等间隔采样拉氏逆变换设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)()[()]aaHsLTht设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：1()NiaiiAHsss式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：NitsiatueAthi1)()(式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：1()()()iNsnTaiihnhnTAeunT对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：11()1iNisTiAHzez11zeAssATsiiii^()()()aanhthttnT设ha(t)的采样信号用表示，)(ˆtha二、S平面和Z平面之间的映射关系拉氏变换：snTnastnastaaenThdtenTtthdtethsH)()()()(ˆ)(ˆsTsTezeznnazHznh)()(上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：sTezsTez由：jrezjsTjTjeere得到：TerTjS平面Z平面Re[z]jIm[z]=0(s平面虚轴)r=1(z平面单位圆)0(s左半平面)r1(z平面单位圆内部)0(s右半平面)r1(z平面单位圆外部)①r与