2013届高考数学(理)一轮复习课件：第54讲 两条直线的位置关系与对称问题(人教A版湖南专用)(1

掌握两直线平行与垂直的条件、点到直线的距离公式、中心对称和轴对称的概念，能根据直线的方程判断两直线的位置关系，会求两相交直线的交点坐标和两平行直线间的距离，能把握对称的实质，并能应用对称性解题．1111112222221212211212211212122112121200.1//______________0(0)2____________________.30.14lykxbAxByClykxbAxByCllbbACACBCBCllllABABllkkbb．平面内的两条直线的位置若直线：或；直线：或①且或②且或．③或④与相交与重合且关系12211221122100(0)ABABACACBCBC或且或．000000112212()010.20.3___________.00_________.2_PxylAxByCAxByCAxByCdlAxByClAxByClld设点，，直线：，则点在直线上：点在直线外：点到直线的距离⑤特别地，若：，：，则与间的距．点与直线的⑥位置关系离000,0000000''01()()2200()()2())3(PxyMabPMPPPaxbyabPxyPxyPxylykxbPxyPPlPPl中心对称：求，关于点，对称的点的基本方法是转化为是线段的中点求，即．特例：当，时，，关于原点的对称点为，．轴对称：求已知点，关于已知直线：的对称点，的基本方法是转化为求方程⑦组的解，即由线段的．中心对称与轴对中点p称.⑧12567010()()()()()()__________________.()()()()()()kbPxyxyPxyPxyPxyyxyxPxyyxbyxbPybxbPybxbPxyxaybP特例：当，或时，分别有以下规律：ⅰ，关于轴、轴对称的点分别为，，，．ⅱ，关于直线，对称的点分别为⑨ⅲ，关于直线，对称的点分别为，，，．ⅳ，关于直线，对称的点分别为8(2),21,0axyPxbyk，，．注意：当时，不具有上述规律．'''1(24)0CFxyfCCCfCCC曲线：，经过上述规律进行变换，得曲线，则为关于对称的曲线．若的方程与的方程相同，则证明曲线自身具有．对称变换对称性．()0()0()0()0()0()0()0()0()(2)0CFxyxyCFxyFxyFxyyxyxyxbyxbCFyxFyxFybxbFybxbxaybMabCFaxyF特例：曲线：，关于轴、轴、原点对称的曲线的方程分别为，，，，，；关于直线，，，对称的曲线的方程分别是，，，，，，，；关于直线，，点，对称的曲线的方程分别为，，,202,20.xbyFaxby，1212211212120120003401|00|022||12222()()kkABABkkAxByCAABBAByyCCkxxAByyxxkbPyxPyx①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨【要点指南、，】，1.(2011·泉州模拟)若直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x－ay＋1＝0平行，则a的值为()A.12B.12或0C．0D．－2【解析】当a＝0时，两直线重合，不合题意；当a≠0时，a－1a＝－12a，解得a＝12.2.(2011·温州模拟)已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的BC边上的高所在直线方程为()A．x＋y＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－2＝0D．x－y－2＝0【解析】因为B(3,1)，C(1,3)，所以kBC＝3－11－3＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，以高线经过点A，所以其直线方程为x－y＋2＝0.3.将一张坐标纸折叠一次，使得点A(0,2)与点A1(4,0)重合，点B(7,3)与点B1(m，n)重合，则m＋n＝345.【解析】依题设可知点A1、A关于折痕对称，即折痕为线段A1A的垂直平分线，其方程为y＝2x－3，同时它也是B1B的垂直平分线，于是3＋n2＝2·7＋m2－3n－3m－7＝－12，解得m＝35n＝315，故m＋n＝345.4.(2011·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是[0,10].【解析】由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5，又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a∈[0,10]．一两条直线的位置关系【例1】(1)已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，若l1∥l2，求实数m的值；(2)已知两直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0.若l1⊥l2，求实数a的值．【解析】(1)方法1：①当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，l1∥l2；②当m≠0时，l1：y＝－1m2x－6m2，l2：y＝2－m3mx－23，由－1m2＝2－m3m，且－6m2≠－23，所以m＝－1.故所求实数m的值为0或－1.方法2：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的等价条件是：A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.由所给直线方程可得：1·3m－m2·(m－2)＝0，且1·2m－6·(m－2)≠0⇒m(m2－2m－3)＝0且m≠3⇒m＝0或＝－1.故所求实数m的值为0或－1.(2)方法1：由直线l1的方程知其斜率为－a2.当a＝1时，直线l2的斜率不存在，l1与l2不垂直；当a≠1时，直线l2的斜率为－1a－1.由－a2·(－1a－1)＝－1⇒a＝23.故所求实数a的值为23.方法2：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的等价条件是A1A2＋B1B2＝0.由所给直线方程可得a·1＋2(a－1)＝0⇒a＝23.故所求实数a的值为23.【点评】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是是多少一定要特别注意．(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.素材1【解析】(1)由m·m－8×2＝0，得m＝±4.由8×(－1)－n·m≠0，得m＝4n≠－2或m＝－4n≠2，即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.(2)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.又－n8＝－1，所以n＝8，即m＝0，n＝8时，l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.二有关距离问题【例2】已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线l的方程为______________．【解析】方法1：由于l过点A且与点P1，P2距离相等，所以有两种情况，如图．(1)当P1，P2在l同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝5－3－4－2(x＋1)，即y－2＝－13(x＋1)；(2)当P1，P2在l异侧时，l必过P1P2的中点(－1,4)，此时l的方程为x＝－1.方法2：当斜率存在时，设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.则|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，解得k＝－13，此时l的方程为y－2＝－13(x＋1)．当斜率不存在时，l的方程为x＝－1.所以所求直线的方程为y－2＝－13(x＋1)或x＝－1.【点评】①在运用点到直线距离公式时要注意直线斜率是否存在的讨论；②数形结合是解决解析几何问题特别要注意的一种思维方法．直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1,0)对称，则b＝2.素材2【解析】由题意，点A(1,0)不在直线x＋2y－3＝0上，则－12＝－a4，所以a＝2.又点A到两直线的距离相等，所以|b＋2|＝4，所以b＝－6或b＝2.又因为点A不在直线上，两直线不重合，所以b＝2.三两直线的交点问题【例3】求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【解析】方法1：先解方程组3x＋2y－1＝05x＋2y＋1＝0，得l1，l2的交点(－1,2)，再由l3的斜率35求出l的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－53(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.方法2：因为l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0.方法3：因为l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.【点评】求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线的交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解．(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．本例中，若把条件中的“垂直”改为“平行”，求直线l的方程．素材3【解析】方法1：先求出交点为P(－1,2)，又l∥l3，所以kl＝35，故直线l的方程为y－2＝35(x＋1)，即3x－5y＋13＝0.方法2：设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，即(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.因为l∥l3，所以3＋5λ3＝－2＋2λ5≠－1＋λ6，解得λ＝－2131.所以l的方程为3x－5y＋13＝0.四对称问题【例4】已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()A．x－2y＋1＝0B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0【解析】l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上，又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则x＋02－y－22－1＝0y＋2x×1＝－1，得x＝－1y＝－1，即(1,0)、(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0，故选B.【点评】由平面几何知识知，若直线l1、l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与直线l相交，则交点在直线l2上；②若B在直线l1上，则其关于直线l的对称点C在直线l2上．本题就是利用上述两条性质，找出确定直线l2的两个点(直线l1与直线l的交点A和直线l1上的特殊点B关于直线l的对称点)，由两点式得到直线l2的方程．求直线l：2x－3y＋1＝0关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．素材4【解析】因为l∥l′，所以可设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)，因为点A(－1，－2)到