工程力学辅导201405-平面弯曲

第八章：平面弯曲§8–1梁内正应力及正应力强度计算§8–2梁内剪应力及剪应力强度计算§8–3梁的合理截面及变截面梁§8–4梁挠曲线的近似微分方程§8–5用积分法求梁的变形§8–6用叠加法求梁的变形§8–7梁的刚度计算和提高梁的刚度的措施§8–8简单超静定问题1.梁横截面上的内力——剪力、弯矩2.σMFQτ§10-1概述στMFQ§8–1梁内正应力及正应力强度计算CD段AC段和DB段——纯弯曲——横力弯曲FABFCDFaaMFa--FQFF+§8–1梁内正应力及正应力强度计算应力分布应力公式变形应变分布变形几何关系（变形规律）物理关系（应力应变关系）3.研究思路——三个关系(变形几何关系、物理关系、静力学关系)静力学关系（力系合成）§8–1梁内正应力及正应力强度计算一、纯弯曲粱的正应力公式1.变形几何关系相对原来位置转过一角度，仍为直线；弯成弧线；上部略有扩展，下部略有收缩。横线：纵线：横截面：上部纵线缩短，下部纵线伸长。与弯曲后的纵线正交。变形现象：§8–1梁内正应力及正应力强度计算变形后的横截面仍为平面，假设1（平面假设）(单向受力假设)各纵向线间无挤压，假设2并与弯曲后的纵向层正交。每根纵向线处于单向受力状态。§8–1梁内正应力及正应力强度计算——中性层梁内有一层纵向线既不伸长，也不缩短——中性轴中性层与横截面的交线纵向对称面中性层中性轴zx横截面纵向对称轴y§8–1梁内正应力及正应力强度计算变形几何关系：O12112O2dxaby取微段梁dxO1'2112O2'dqa'b'dx1122§8–1梁内正应力及正应力强度计算ab的线应变：——应变分布ababbaxxydddq)(qqqddd)(yy横截面上任一点ε与y成正比O12112O2dxabyO1'2112O2'dqa'b'§8–1梁内正应力及正应力强度计算2.物理关系σ=Eε=Eyρ横截面上各点处σ与y成正比高度方向线性分布；宽度方向均匀分布。x单向受力假设——应力分布y——应变分布3.静力学关系——中性轴过形心①yAMAzd0dAAyzE即②0dAyzAyzI得AFANd00dAAyE即0dAzAyS得00E而0E而——yz为形心主轴σ=Eε=EyρxMdAσdAxFyMzM空间平行力系yz0NF00MEIz——梁的弯曲刚度xMdAσdAxFyMzM空间平行力系yz0NF00M——中性层曲率公式③zMAyAdMAyEAd2即MMIEz得zEIM1从而σ=Eε=EyρIzM·y——正应力公式σ=Eε=Eyρ1ρ=MEIzMMMMyzb.正应力正负号确定：可由M与y的符号确定，++--也可由弯曲变形情况确定。a.公式适用条件：等直梁、线弹性、纯弯曲IzWz=ymax令①z轴为对称轴时：zWMmaxctmaxc.最大正应力：②z轴为非对称轴时:zIyMmaxtmaxtzIyMmaxcmaxc—弯曲截面系数zIyMmaxmaxzzzcz二、正应力公式的推广对于横力弯曲变形，两个假设并不成立。但实验和理论分析表明，当l/h（跨高比）较大（5）时，误差很小，可满足工程的精度要求。M(x)yIz1ρ(x)=M(x)EIzIzM(x)ymaxmax例一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面，试求三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm。ABF=20kN3mC3m解：1.求最大弯矩MmaxmkN30m6kN204141maxFlM2.矩形截面3.圆形截面4.工字形截面ABF=20kN3mC3mzWMmaxmax342mm1067.3261bhWzMPa8.91343mm1036.23321dWz3cm2080zWzWMmaxmaxMPa4.128zWMmaxmaxMPa42.14bhd241由得mm5.133d查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）例一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉应力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。B、D截面为危险截面MB=-40kN·mMD=22.5kN·m解：1.作FQ、M图ABq=20kN/m4mC2mABq=20kN/m4mC2mDxM(kN·m)4022.51.5mxFQ(kN)305040+-++-zy22060280c18060B、D截面为危险截面MB=-40kN·mMD=22.5kN·mB截面：上部受拉、下部受压tmaxtmaxBBBzMyIcmaxcmaxBBBzMyItmax100mmBy46m106.186zIcmax180mmByMPa4.21MPa6.38ABq=20kN/m4mC2mDxM(kN·m)4022.51.5m+-zy22060280c18060D截面:上部受压、下部受拉tmaxtmaxDDDzMyIcmaxcmaxDDDzMyItmax180mmDy46m106.186zIcmax100mmDyMPa7.21MPa1.12B、D截面为危险截面MB=-40kN·mMD=22.5kN·mABq=20kN/m4mC2mDxM(kN·m)4022.51.5m+-zy22060280c18060zy22060280cyC=18060D截面D截面为最大拉应力截面；B截面为最大压应力截面tmaxtmaxDDDzMyIMPa7.21tmaxtmaxBBBzMyIMPa4.21cmaxcmaxBBBzMyIMPa6.38cmaxcmaxDDDzMyIMPa1.12两个假设假设1：剪应力与横截面的侧边平行，与剪力方向一致；假设2：剪应力沿截面宽度均匀分布。剪应力与横截面的形状有关一、矩形截面梁§8–2梁内剪应力及剪应力强度计算1.剪应力τ的大小ABqFbhdxdxbhMFQFQM+dMdM=FQdxdxσ'σdxzσ'σFN2FN1τ′FN2-FN1=τ'bdxFN1=σ'dA=∫A*∫A*My'IzdAMIz=y'dA∫A*=y'dA∫A*Sz*=τbdxσ'dAyy'FN1=MIzSz*FN2=σdA=∫A*∫A*(M+dM)y'IzdA=y'dA∫A*(M+dM)IzFN2=Sz*(M+dM)IzFN1=MIzSz*dxσ'σFN2FN1τ′σ'dAy'FN2-FN1=τbdxFN2-FN1==τbdxSz*dMIzdM=FQdxSz*FQdxIz=τbdxSz*FQIzbτ=从而2.沿梁高的剪应力分布]2/)2[()2(*yyhyhbSz)4(222yhb)41(2322QhybhF二次抛物线分布2hy00ybhFQmax23Sz*FQIzbτ=二、工字型截面梁1.腹板剪应力τyzbdbaτmax2.翼缘部分剪应力0ydISFzz*maxQmax*maxQ/zzSIdF有铅直剪应力（很小），也有水平剪应力对于T形、槽形和箱形截面，其腹板上的剪应力计算同样可采用该公式。Sz*FQIzbτ=zd/2三、圆形截面梁maxdISFzz*maxQmax中性轴处：AFdddFQ43Q346412zr0四、薄壁圆环截面梁max中性轴处：maxAFQ2例如图所示一T形截面。截面上的剪力FQ=50kN，与y轴重合。试求腹板的最大剪应力，并画出腹板上的剪应力分布图。解：1.腹板的最大剪应力dISFzz*maxQmax2206070220601216022070602201212323zI33*maxmm109729060180zS64186.5610mmdISFzz*maxQmaxMPa34.4Pa1060101056.1861010972105031269332.腹板上剪应力分布dISFzz*Q抛物线分布腹板和翼缘交界处：33*1mm109242206070zSdISFzz*1Q1MPa13.4等直梁的正应力强度条件为等直梁的切应力强度条件为][maxmaxzWM][*maxmaxQmaxbISFzz对等直梁，最大弯矩截面和最大剪力截面均为危险截面。正应力的危险点在最大弯矩截面距离中性轴最远处；剪应力的危险点在最大剪力截面中性轴处。§8–1梁内正应力及正应力强度计算§8–2梁内剪应力及剪应力强度计算强度计算:（1）效核强度（2）设计截面尺寸（3）计算梁的容许荷载通常梁的强度由正应力强度条件控制。等直梁的正应力强度条件：等直梁的切应力强度条件：][maxmaxzWM][*maxmaxQmaxbISFzz需要校核切应力强度的情况：（1）梁的最大弯矩较小而最大剪力较大时，例如集中荷载作用在靠近支座处的情况；（2）焊接或铆接的的组合型薄壁截面（如工字型）钢梁，腹板的厚度较小时；（3）木梁，由于木材顺纹方向抗剪强度较低，故需校核其顺纹方向的切应力强度。例如图所示为一简支木梁及其所受荷载情况。设材料的容许正应力[σt]=[σc]=10MPa,容许切应力[τ]=2MPa。梁的截面为矩形，宽度b=80mm，求梁所需的截面高度。解：1.按正应力强度条件设计mkN5210818122maxqlM][maxmaxzWM35mm105MPa10mkN562bhWz2.效核梁的切应力强度kN102102121maxQqlFbISFzz*maxQmaxmaxAFQmax23MPa94.0mm19480mkN10232MPa2][满足切应力强度要求,h=194mm][maxMWzmm19480105665bWhz例一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。材料容许应力为[σt]=25MPa，[σc]=50MPa,效核梁的强度。ABq=20kN/m4mC2mzy22060280c18060B、D截面为危险截面MB=-40kN·mMD=22.5kN·m解：1.作FQ、M图ABq=20kN/m4mC2mDxM(kN·m)4022.51.5mxFQ(kN)305040+-++-B、D截面为危险截面MB=-40kN·mMD=22.5kN·mB截面：上部受拉、下部受压tmaxtmaxBBBzMyIcmaxcmaxBBBzMyItmax100mmBy46m106.186zIcmax180mmByMPa4.21MPa6.38ABq=20kN/m4mC2mDxM(kN·m)4022.51.5m+-zy22060280c180602.危险点应力D截面:上部受压、下部受拉tmaxtmaxDDDzMyIcmaxcmaxDBBzMyItmax180mmDy46m106.186zIcmax100mmDyMPa7.21MPa1.12B、D截面为危险截面MB=-40kN·mMD=22.5kN·mABq=20kN/m4mC2mDxM(kN·m)4022.51.5m+-zy22060280c180602.危险点应力cmaxMPa6.38tmaxMPa7.21满足正应力强度要求t[]25MPac[]50MPatmaxtmaxDDDzMyIMPa7.21tmaxtmaxBBBzMyIMPa4.21cmaxcmaxBBBzMyIMPa6.38cmaxcmaxDDDzMyIMPa1.123.强度校核§8–3梁的合理截面及变截面梁1.合理选择截面形状，尽量增大Wz值62bh62hb349cm10ON372.9cm3167.0a3118.0a工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理2.根据材料特性选择截面对于抗