数学选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 法向量求线面角

平面法向量及其应用二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角;这条直线叫做二面角的棱;这两个半平面叫二面角的面.二面角的表示法:棱为AB,面为,.记作二面角-AB-AB复习:二面角的平面角1.定义:以二面角的棱上任意一点为端点.在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.AOB为二面角-a-的平面角AB定义要点:1.棱上的一点2.两条射线分别在两个平面内3.射线要垂直于棱aO1.定义:正确掌握空间各种角的定义及取值范围：（1）异面直线所成角的范围：（2）直线与平面所成的角的范围：（3）二面角的平面角的范围通常认为：0º900º900º180平面法向量在立体几何中的应用——利用法向量求线面角向量与平面垂直•如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，•记作aaa(一)平面的法向量的定义：a如果a,那么向量a叫做平面的法向量平面的法向量有无数个,它们的方向相同或相反.如何求平面的法向量?ABCDxyA1B1C1D1z1111ABCDABCD1ACD例1.在棱长为1的正方体中，(1)求平面的法向量1n(2)求平面ABCD的法向量.2n（二）:平面的法向量的求法2、若已知平面内不共线的两个向量，常设为平面的一个法向量，利用平面内两个已知向量垂直，得出之间的关系，进而求出平面的法向量。),,(zyxnnzyx,,1、利用空间的线面垂直关系找法向量。1、利用平面法向量求直线与平面所成的角：直线与平面所成的角等于平面的法向量所在的直线与已知直线的夹角的余角。（三）平面法向量的应用关键：求平面法向量与直线对应的向量的夹角，并取其锐角，最后再求其余角。AB如图1：直线AB与平面所成的角=(=BA,n)2Cn利用平面法向量求直线与平面所成的角：如图2：直线AB与平面所成的角=(=BA,n)2图2ABCn|,cos|sinnBA例2：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点，求MF与面ENF所成的角的余弦值。AD1C1B1A1NMFEDCB（1）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BC、BB1的中点。求AB与平面AMN所成的角的大小。ANMD1C1B1A1DCB答案：/2-arccos(1/3)或arcsin(1/3)练习（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2，原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1，0）点D在平面yoz上，且BDC=90º，DCB=30º,求ＣＤ与平面ＡＢＤ所成角的大小。AOzyxDCB(0,-1,0)(1,1,0)(0,1,0)E30º(0,-1/2,3/2)平面法向量在立体几何中的应用——利用法向量求二面角利用平面法向量求二面角的大小求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小mn如图：二面角的大小等于-m,n利用平面法向量求二面角的大小如图：二面角的大小等于m,nmn指入、指出平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小。例3：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-N的大小AD1C1B1A1NMFEDCB（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2，原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1，0）点D在平面yoz上，且BDC=90º，DCB=30º,求二面角D-BA-C的大小AOzyxDCB(0,-1,0)(1,1,0)(0,1,0)E30º(0,-1/2,3/2)小结：本节主要学习了法向量在求线面角和二面角方面的应用，注意所求角与法向量的联系，掌握基本的思想方法。作业: