学而思 小升初第13讲_计数的方法与原理

学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第十三讲教师版Page1of11小升初名校真题专项测试-----计数的方法和原理测试时间：15分钟姓名_________测试成绩_________1、将一些数字分别填入下列各表中，要求每个小格中填入一个数字，表中的每横行中从左到右数字由小到大，每一竖列中从上到小数字也由小到大排列。(1)将1至4填入表1中，方法有_________种；(2)将1至6填入表2中，方法有_________种；表1表2表3（03圆明园杯数学竞赛试题）解：①2种：如图，1和4是固定的，另外两格随便选，2种；1341442231②5种：1和6是固定的，其余的不确定；3654561232144322435661125431652、小明有8张连在一起的电影票(如下图)，他自己要留下四张连在一起的票，其余的送给别人.他留下的四张票可以有＿＿种不同情况.（04试验中学入学测试题）【解】：四张构成正方形的有3种，3张竖的连在一起的有123对4、5、6。456对1、2、3、7、8总共有8种。3张横的连在一起的有368对2、5、7。2、5、7对3、6、8、1、4共8种。所以总共8+8+3=19种。3、用5个1×2的小长方形去覆盖2×5的方格网，一共有＿＿种不同的覆盖方法。（迎春杯试题）学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第十三讲教师版Page2of11【解】：5个1×2的小长方形都是竖直的时候有1种，3个竖直的时候剩下的要横着放，这样有4种，1个竖直的时候，有3种，所以总共只有8种。[总结]：这题我是这样总结的：若用1×2的小长方形去覆盖2×N的方格网，则设方法数为An，那么A1=1，A2=2，N≥3时。后面的方法数都是前面的两种数目和。这样A3=1+2=3，A4=2+3=5，A5=3+5=8种。4、某小学有一支乒乓球队，有男、女小队员各8名，在进行男女混合双打时，这16名小队员可组成＿＿对不同的阵容.（03年三帆中学入学测试题）【解】先把男生排列起来，这就有了顺序的依据，那么有8名女生全排列为8！＝40320．5、某校高二年级共有六个班级，现从外地转进4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为多少___________。（04年人大附中分班测试题）【解】：先选学生，这样我们可以从4人中先选2人，这样总共有4×3÷2=6种，剩下的学生只能在一起；再排学生，这样第一组选出的学生有6种选择，第二组选出的学生有5种，所以总共有6×6×5=180种。6、有甲、乙、丙三种商品，买甲3件，乙7件，丙1件，共需32元，买甲4件，乙10件，丙1件，共需43元，则甲、乙、丙各买1件需________元钱？(05年首师大附中测试题)【解】：3甲+7乙+丙=324甲+10乙+丙=43组合上面式子，可以得到：甲+3乙=11，可见：甲+乙+丙=4甲+10乙+丙-3甲-9乙=43-3×11=10。7、用1～9可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成______个满足要求的三位数．（05年人大附中入学测试题）【解】1)9×8×7=504个2）504-（6+5+5+5+5+5+5+6）×6-7×6=210个（减去有2个数字差是1的情况，括号里8个数分别表示这2个数是12，23，34，45，56，67，78，89的情况，×6是对3个数字全排列，7×6是三个数连续的123234345456567789这7种情况）学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第十三讲教师版Page3of11第十三讲小升初专项训练-----计数的方法与原理引言：计数方法与原理是组合数学的主要课题之一，本讲介绍一些计数的基本方法及计数的基本原理。【例1】．（★★★）一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？[思路]：要使增加的部分最多，则增加的长方形的每条边跟原来的每条边的交点要越多越好。解答：（见下图）最多26个。[总结]：相关的总结：N个图形最多可把平面分成部分数直线：1+n×(n+1)÷2圆：2+1×n×(n-1)三角形：2+3×n×(n-1)长方形：2+4×n×(n-1)注意区分，直线是分封闭的图形，其他的都是封闭图形；圆只有一个圆角，三角形有三个圆角，长方形有四个圆角，注意总结中的系数变化。【例2】．（★★★）一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形。问：一共可以剪成多少个三角形？如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀？解答：[方法一]：解：我们前面经常用到的找规律的方法，当四边形内放置一个点时，它与4个定点相连，可以得到4个三角形；增加一个点，这个点必定落在某一个三角形内，那么它与三角形的三个定点相连，构成三个新的三角形，三角形总数增加3-1=2个；以后每增加一个点，它同样都必定落在某一个三角形内，也都是增加2个三角形。所以，三角形的总数为4+（1996-1）×2=3994个。第一个点连接四边形的四个顶点，代表4刀；从第二个点开始，因为每一个都是落在三角形内，连接是3点，即需要3刀；所以，总共需要剪4+（1996-1）×3=5989刀。学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第十三讲教师版Page4of11[方法二]：解：一个点就是360度，1996个点就是1996×360；四边形本身内角和是360度，所以，度数总和是1996×360+360=1997×360度；每一个三角形内角和是180，所以有三角形1997×360÷180=3994个。第一个点连接四边形的四个顶点，代表4刀；从第二个点开始，因为每一个都是落在三角形内，连接是3点，即需要3刀；所以，总共需要剪4+（1996-1）×3=5989刀。【例3】、（★★★）10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着。请问一共有多少种不同的放法？[方法一]：题型转换和隔板法的应用[思路]：解数学题的一种重要方法是转化，不断地转化，把你不熟悉的问题转化为你熟悉的问题．从10个有差别的橘子中选出3个橘子有多少种选法，这是我们熟悉的问题．我们希望能把原来的问题转化为这种问题解：把10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着，然后在每个盘子里再另加一个橘子，这就变成了把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，不允许任何一个盘子空着．反过来也是一样，把13只橘子放到3个盘子里，不允许任何一个盘子空着，再从每一个盘子中取出一个橘子，这就变回题目中的放法．所以把10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且允许有的盘子空着的放法数目，和把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目相同．我们现在来计算把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目．这时我们用隔板地方法，把这13只橘子排成一列，则这13只橘子之间有12个空隙．我们只要选定这12个空隙中的2个空隙，再这两个空隙中分别放一块隔板，这样就分成了3组，就相当于把这13只橘子分成了3堆，如下图．所以只要求出从12个空隙中选出2个空隙有多少种方法就可以了．这种题目同学们是熟悉的，就是C122=12×11÷2=66．所以题目中所求的不同的放法有66种．[方法二]：[思路]：分步骤考虑解：1个盘子装：不妨把10个看成1个桔子，有3个不同的盘子：1×3=32个盘子装：3个盘子取出2个装桔子共3种选择，对于每一种选择都有9种装法（1+9、2+8、……、9+1），共9×3=273个盘子装：9×8÷2=36总计：3+27+36=66种不同的方法。[总结]：这是一道非常典型的题目，同学们应该反复体会这种解法．[拓展]：20个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友至少分一个，请问总共有多少种分法？【例4】（★★★）数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1。问：1999表示为1个或几个正整数的和的方法有多少种？【解】：我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号。例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：111，11＋1，1＋11，1＋1＋1。显然，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间一对一，而每一个空隙处都有填“＋”学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第十三讲教师版Page5of11号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有【例5】：（★★★）把13拆成三个数的和，请问有几种拆法？【解】：隔板法：13写成13个1，这样有12个空，我们可以拿2块板，可以把1分成3堆，所以总共有212C=121112=66【例6】、（★★★）若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”。问一共有多少“上升的”自然数？[方法]：整体和极端考虑[思路]：我们先举几个例子来看看“上升的”自然数是什么样的．12、l23、l234、12345些都是“上升的”自然数．初看之下似乎没什么规律，连位数都是不确定的．但如果我们再举一个极端的例子：123456789，我们就可以发现其中的奥妙．解:很明显地可以看出，每个“上升的”自然数都可以由123456789这个数划掉若干个数码得到．反过来，由从123456789这个数中划掉若干个数码得到的至少两位的数都是“上升的”自然数．所以只要算出从123456789中划掉若干个数码所能得到的至少两位的数有多少个就可以了．因为每个数码都有划掉和保留这两种可能，而且得到的一位及零位数只有10个，所以所能得到的至少两位的数有2×2×2×2×2×2×2×2×2—10=502(个)．所以一共有502个“上升的”自然数．【例7】、（★★★）有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂。问可以得到多少种着色方式不同的圆棒？[方法一]：[思路]：组合问题考虑，但是由于圆棒不分左右，因此旋转后相同的只能算作一种。为此，可以从中间一节着手。解：5节颜色一样是有：3种；左右对称时有：3×2×3+3×1×2=24种；左右不对称时有：1、5节或2、4节不同有3×3×3×2=54种；1、5节和2、4节同时不同有3×3×2×3=54种；所以，全部有3+24+54+54=135种。[方法二]：[思路]：组合问题考虑，但是由于圆棒不分左右，因此旋转后相同的只能算作一种，先考虑全部情况，再减去重复的情况。解：所有情况总共有3×3×3×3×3=243种着色方式,其中有3×3×3种是对称的.所以这27种必需算2次。但因为圆棒可以反过来使用,因此左边和右边看的情况时相同的,共有(243+27)÷2=135种【例8】、（★★★★）如下图，八面体有12条棱，6个顶点。一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次。问共有多少种不同的走法？学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第十三讲教师版Page6of11[思路]：从A出发，要走过所有的顶点，我们只要考虑第几次经过对顶点C解：走完6个顶点，有5个过程分两大类：第二次走C点：就是意味着从A点出发，我们要先走F，D，E，B中间的一点，再经过C点，但之后只能走D，B点，最后选择后面两点。4×1×2（从F到C的话，是不能