数学建模 席位分配问题

2.3公平的席位分配某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则Npqm表示某单位的席位数m表示某单位的人数p表示总人数N表示总席位数q1问题的提出（美国宪法1788）20个席位的分配结果系别人数所占比例分配方案席位数甲100100/200(50/100)•20=10乙6060/200(30/100)•20=6丙4040/200(20/100)•20=4现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%•20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%•20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%•20=3.410641064现象1丙系少了6人，但席位仍为4个。(不公平！）Halmiton(1790)先按整数分配再按余数较大者分配由于在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。21个席位的分配结果（Halmiton方法）系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%•21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%•21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%•21=3.5701173现象2总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）惯例分配方法（Halmiton方法）：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象（Alabama悖论），能否给出更公平的分配席位的方案？2建模分析目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。系别人数席位数每席位代表的人数公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系别人数席位数每席位代表的人数甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系别人数席位数每席位代表的人数公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差一般地，单位人数席位数每席位代表的人数AB1p2p1n2n11np22np当2211npnp席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。准。称为“绝对不公平”标)12211npnp此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。单位人数p席位数n每席位代表的人数绝对不公平标准A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大为改善！2）相对不公平np表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。2211npnp则A吃亏,或对A是不公平的。定义“相对不公平度”则称，若2211npnp11221211(,)Apnpnrnnpn对A的相对不公平值；则称，若2211npnp22111222(,)Bpnpnrnnpn对B的相对不公平值；建立了衡量分配不公平程度的数量指标BArr,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。3模型构成若A、B两方已占有席位数为,,21nn用相对不公平值讨论当席位增加1个时，应该给A还是B方。不失一般性，2211，若npnp有下面三种情形。情形112211，npnp说明即使给A单位增加1席，仍对A不公平，所增这一席必须给A单位。情形212211，npnp说明当对A不公平时，给A单位增加1席，对B又不公平。计算对B的相对不公平值221112122221(1)(1,)1(1)Bpnpnpnrnnpnpn情形312211，npnp说明当对A不公平时，给B单位增加1席，对A不公平。计算对A的相对不公平值112221121112(1)(,1)1(1)Apnpnpnrnnpnpn),1,(),1(2121nnrnnrAB若则这一席位给A单位，否则给B单位。121221(1,)1(1)Bpnrnnpn211212(,1)1(1)Apnrnnpn12212112(1)(1)pnpnpnpn(*))1()1(11222212nnpnnp结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A单位，反之，应分配给B单位。),1,(),1(2121nnrnnrAB记21)1(2,innpQiiii则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。这样的分配席位的方法称为Q值法。若A、B两方已占有席位数为,,21nn4推广有m方分配席位的情况设iA方人数为ip，已占有in个席位，mi,,2,1当总席位增加1席时，计算m,innpQiiii,,21)1(2则1席应分给Q值最大的一方。1in开始，即每方至少应得到1席，（如果有一方1席也分不到，则把它排除在外。）从5举例甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？按Q值法：3,21)1(2,innpQiiii1,1,1321nnn785)11(134,5.9841)11(1635304.5,)11(1103232221QQQ785)11(134,5.9841)11(1632.7681)12(2103232221QQQ甲1乙1丙1785)11(1345.661)12(2632.7681)12(2103232221QQQ785)11(1345.661)12(2634.888)13(3103232221QQQ456789101112131415161718192021甲：11，乙：6，丙：4模型分析►存在公平的分配方法么？1）比例加惯例法（H法）——悖论2）Q值法——存在不合理3）其它方法：D’hondt方法理想化原则——不存在完全“合理”的分配方法练习系人数Pi比例分配参照惯例分配Q值法A921592.159292B1591.5922C1581.5822D1571.5722E1561.5611F1551.5511总和10000100100100d’Hondt方法有k个单位，每单位的人数为pi，总席位数为n。做法：用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前n个，（这n个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。/1/2/3/4/5/6/7/8/9/10A10361.534.325.7520.617.214.712.87511.410.3B6331.52115.7512.610.59C341711.38.56.821席位构造分析方法建模►进行量化处理，需要构造度量►构造度量遵循原则：1）严谨，公平，有公信力；2）尽量简单，便于操作；3）能准确反映各方差异。►扎实的数学功底及开创性思维