一次函数应用题赏析,马老师

一次函数应用题赏析函数的综合应用题往往综合性强，覆盖面广，包含的数学思想方法多。它能真正考查学生运用所学知识解决实际问题的能力。一次函数的综合应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，通常是以图象信息的形式出现。1、成本与利润问题。例1：一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式和成本费用s（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式；⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）850400350O-1001020y（百元）x（百人）解析：⑴由图象可知：当0≤x≤10时，设y关于x的函数解析y=kx-100，∵（10，400）在y=kx-100上，∴400=10k-100，解得k=50∴y=50x-100，s=100x-(50x-100)，∴s=50x+100⑵当10x≤20时，设y关于x的函数解析式为y=mx+b，∵（10，350），（20，850）在y=mx+b上，∴10m+b=350解得m=5020m+b=850b=-150∴y=50x-150∴s=100x-(50x-150)-50∴s=50x+100∴y=50x-100(0≤x≤10)50x-150(10x≤20)令y=360当0≤x≤10时，50x-100=360解得x=9.2s=50x+100=50×9.2+100=560当10x≤20时，50x-150=360解得x=10.2s=50x+100=50×10.2+100=610。要使这次表演会获得36000元的毛利润.要售出920张或1020张门票，相应支付的成本费用分别为56000元或61000元。点评：此题是借助函数图象确定函数关系式，从而进行经济决策的经济问题。题中需注意提示和分段函数的分情况讨论。2、行程问题。例2：甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）⑵当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；⑶在⑵的条件下，设乙同学从A点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B处与乙同学相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？12623S（千米）t（小时）CDEFB甲乙解析：⑴设甲、乙两同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为s甲=k1t，s乙=k2t。由题意得：6=2k1，6=3k2，解得：k1=3，k2=2∴s甲=3t，s乙=2t⑵当甲到达山顶时，s甲=12（千米），∴12=3t解得：t=4∴s乙=2t=8（千米）⑶由图象可知：甲到达山顶宾并休息1小时后点D的坐标为（5，12）由题意得：点B的纵坐标为12-23=221，代入s乙=2t，解得：t=421∴点B（421，221）。设过B、D两点的直线解析式为s=kx+b，由题意得421t+b=221解得：k=-65t+b=12b=42∴直线BD的解析式为s=-6t+42∴当乙到达山顶时，s乙=12，得t=6，把t=6代入s=-6t+42得s=6（千米）点评：借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键。3、饮水问题。例3：教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们到饮水机前用茶杯接水。假设接水过程中水不发生泼洒，每个学声所接的水量是相等的。两个放水管同时打开时，它们的流量相同。放水时先打开一个水管，过一会再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着。饮水机的存水量y（升）与放水时间x(分钟)的函数关系如下图所示：⑴求出饮水机的存水量y（升）与放水时间x(分钟)（x≥2）的函数关系式；⑵如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水接束，则前22个同学接水结束共需要几分钟？O21281718y（升）x（分钟）⑶按⑵的放法，求出在课间10分钟内最多有多少个同学能及时接完水？解析：⑴设存水量y与放水时间x的函数解析式为y=kx+b,把（2，17）、（12，8）代入y=kx+b,得17=2k+b解得k=-109b=5948=12k+b∴y=-109x+594(2≤x≤9188)⑵由图象可得每个同学接水量为0.25升，则前22个同学需接水0.25×22=5.5（升），存水量y=18-5.5=12.5（升）∴12.5=-109x+594解得x=7∴前22个同学接水共需要7分钟。⑶当x=10时，存水量y=-109×10+594=549，用去水18-549=8.2（升）8.2÷0.25=32.8∴课间10分钟内最多有32个同学能及时接完水。点评：这道中考题，主要考查的是学生对图象的识读能力，能否围绕图象来解决问题。在考试中有相当一部分同学把问题简单化了，片面认为两个放水管的工作效率是单独一个放水管工作时效率的2倍。这样一来，得出：每个同学接水需0.5分钟，22个同学接水需：（22-4）÷2×0.5+2=6.5（分钟）。从图象上不难得出：两个放水管的工作效率=109，单独一个放水管工作时效率=21，21×2≠109。一.一次函数图象的应用由函数图象解决实际问题的关键是读图、识图，要弄清函数图象上点的意义.图象上点的横坐标反映函数自变量的取值，纵坐标反映对应的函数值.例1甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度my与挖掘时间hx之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：⑴乙队开挖到30m时，用了h．开挖6h时甲队比乙队多挖了m；⑵请你求出：①甲队在06x≤≤的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在26x≤≤的时段内，y与x之间的函数关系式；⑶当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析:从图象观察可知,甲队在06x≤≤的时段内为正比例函数,故根据图象和点(6,60)就可以求得解析式.而乙队在26x≤≤的时段内为一次函数图象,故根据图象和点(2,30)和(6,50)就可以求得解析式.再根据y相等得到的关于x的方程求得第（3）⑶问.解：⑴2，10；⑵设甲队在06x≤≤的时段内y与x之间的函数关系式为1ykx，由图可知，函数图象过点(660)，，1660k，解得110k，10yx．设乙队在26x≤≤的时段内y与x之间的函数关系式为2ykxb，由图可知，函数图象过点乙6050my甲hx62O图1图象与信息30(230)(650)，，，，22230650kbkb，．解得2520.kb，520yx．⑶由题意，得10520xx，解得4x（h）．当x为4h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．点拨:这道题考查的是函数关系,要求从已知函数图象中获取信息,求出函数值、函数表达式并解答相应的问题.设置了这样一个问题情景后，把两工程队的开挖长度与时间的关系用图象直观地反映出来，更容易理解两个变量间的函数关系以及函数关系的表示，在解决实际问题的过程中考查了对“双基”的理解和掌握.有助于改变对知识过分形式化的记忆和理解，克服单纯记忆知识和机械操作的倾向.二．实际问题中的一次函数此类问题一般是利用一次函数与方程、不等式的关系解决实际问题并进行简单的决策，或根据已画出的图象进行决策.例2：小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图2中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量桶中水面升高___________cm；（2）求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？分析：从图2中可以观察出加入3个球水位增长了6cm，从而就可以求出放入一个小球量筒中水面升高的量为2cm,对于一次函数解析式的求法，我们可以考虑筒中已有的水量为一次函数的常数项，再利用增长的量求出相应的k.解：（1）2．（2）设ykxb，把030，，336，代入得：30336bkb，．解得230kb，．即230yx．（3）由23049x，得9.5x，即至少放入10个小球时有水溢出．点拨:本题从中国古老的故事中找到存在的函数关系，情景新颖，同时具有一定的文化底蕴.我们在平时复习中要关注一些具有文化底蕴的背景并从中挖掘出蕴含的数学问题.三．一次函数最优化问题例3:“六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如右表所示，⑴用含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数；⑵求y与x之间的函数关系式；⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元。①求出利润P(元)与x(套)之间的函数关系式；②求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套。分析：根据两个“不少于”可以列出相应的不等式组，从而求出x的取值范围.型号ＡＢC进价(元／套)405550售价(元／套)50806549cm30cm36cm3个球有水溢出（第23题）图2图2解：（1）购进C种玩具套数为：50－x－y（或47－54x－1011y）……（2分）（2）由题意得405550()2350xyxy整理得230yx……（5分）（3）①利润＝销售收入－进价－其它费用(5040)(8055)(6550)(50)200pxyxy又∵230yx∴整理得15250px……（7分）②购进C种电动玩具的套数为：5050(230)803xyxxx据题意列不等式组102301080310xxx，解得70203x∴x的范围为70203x，且x为整数x的最大值是23∵在15250px中，15k＞0∴P随x的增大而增大∴当x取最大值23时，P有最大值，最大值为595元．此时购进A、B、C种玩具分别为23套、16套、11套．……点拨:本题是一道表格信息题,既考查不等式,又考查一次函数解析式及一次函数的最值问题.通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围,进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值.四.描点猜想求一次函数函数与几何知识的综合问题,有些是以函数知识为背景考查几何相关知识,关键是掌握数与形的转化.有些题目是以几何知识为背景,从几何图形中建立函数关系,关键是运用几何知识建立量与量的等式.例4:元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：纸环数x（个）1234……彩纸链长度y（cm）19365370……（1）把上表中xy，的各组对应值作为点的坐标，在如图3的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？分析:通过描点可以观察猜想出y与x之间满足一次函数关系,我们可以利用待定系数法求函数解析式.解:（1）在所给的坐标系中准确描点,如图3所示.由图象猜想到y与x之间满足一次函数关系．设经过(119)，，(236)，两点的直线为ykxb，则可得19236.kbkb，解得17k，2b．即172yx．当3x时，173