函数的单调性和最大小值

------函数的单调性一、引入课题观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx11-1yx1-11-1问：随x的增大，y的值有什么变化？x1-11y-1-1画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x)=x①从左至右图象上升还是下降______?②在区间____________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．2．f(x)=-2x+1①从左至右图象上升还是下降______?②在区间____________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．上升（-∞，+∞）增大下降（-∞，+∞）减小3．f(x)=x2①在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而________．②在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而________．x…-4-3-2-101234…f(x)…16941014916…(-∞,0]减小（0，+∞）增大y246810O-2x84121620246210141822D对区间D内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)图象在区间D逐渐上升？OxDy区间D内随着x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间D内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)xx1x2？Dyf(x1)f(x2)OMN任意区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升对区间D内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)O设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于区间D上的任意当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，定义MN任意两个自变量的值x1,x2，D称为f(x)的单调增区间.那么就说f(x)在区间D上是单调增函数，区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升D那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，D称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，那么就说在f(x)这个区间上是单调增函数，D称为f(x)的单调区间.增当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，单调区间注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。下列说法是否正确？请画图说明理由。（3）如果对于区间（0，+∞）上的任意x有f(x)f(0),则函数在区间（0，+∞）上单调递增。（1）对于区间（a,b）上得某3个自变量的x1,x2,x3,当ax1x2x3b时，有f(a)f(x1)f(x2)f(x3)f(b),则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。（2）对于区间（a,b）上有无数个自变量的x1,x2,x3,…,xn,当ax1x2…xnb时，有f(a)f(x1)f(x2)…f(xn)f(b),则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。2．单调性与单调区间如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：(1)这个单调区间可以是整个定义域如y=x在定义域上是增函数,y=-x是减函数(2)这个单调区间也可以是定义域的真子集如y=x2在定义域上没有单调性,但在(-∞,0]是减函数,在[0,+∞)是增函数.(3)有的函数没有单调性区间)(1)(0:是有理数是无理数思考函数单调性xxy-5Oxy12345-1-2-3-4123-1-2[例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,y＝f(x)是增函数还是减函数.（二）典型例题•书写单调区间时，注意区间端点的写法。对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。单调区间之间必须用“，”隔开，或者用“和”连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，“且”连接。例2.指出下列函数的单调区间：(1)72yx(2)24yx(1)72yx的单调增区间是解：),(无单调减区间(2)24yx的单调减区间是),(无单调增区间归纳：函数的单调性(0)ykxbk单调增区间单调减区间k0bkxy),(k0),(yox2722o4yx归纳：函数的单调性2(0)yaxbxca2(1)2.yx2yx+2的单调增区间是_______;(-∞,0]2yx+2的单调减区间是_______.[0,)例2.指出下列函数的单调区间：xyy=-x2+21-1122-1-2-2O2(2)2.yx思考2：函数的单调区间呢？223yxx思考1：函数的单调区间呢？2(1)2yx解：单调增区间单调减区间a0a02yaxbxc,2ba,2ba2(0)yaxbxca的对称轴为2bxa,2ba,2ba练习：判断函数的单调区间。2()2fxxxxxxxf2)(2y21o单调递增区间：单调递减区间：]1,(),1[成果运用,12()4fxxax若二次函数在区间上单调递增，求a的取值范围。oxy1xy1o解：二次函数的对称轴为,由图象可知只要，即即可.2()4fxxax2ax12ax2a,12()4fxxax若二次函数的单调增区间是,则a的取值情况是（）变式1变式2请你说出一个单调减区间是的二次函数,1变式3请你说出一个在上单调递减的函数,12222aaaaA.B.C.D.讨论函数在(-2,2)内的单调性.322axxf(x)变式4解：f(x)的开头方向向上，对称轴是x=a，（1）当a≤-2时，f(x)在(-2,2)单调递增；（2）当-2a2时，f(x)在(-2,2)没有单调性，但是f(x)在（-2,a）单调递减，在(a,2)单调递增；（3）当a2时，f(x)在(-2,2)单调递减。变式5讨论函数f(x)=x2-2x+3在区间(a,a+3)上的单调性。例3.指出下列函数的单调区间：1yx1(,0)(0,)yx能不能说在定义域上是单调减函数?x1yxyO思考1：思考2：函数的单调区间是什么？1yx1yx的单调增区间是),0(),0,(归纳：在和上的单调性？0,(0)kykx,01yx的单调减区间是_____________(,0)(0,),解：没有单调增区间单调增区间单调减区间(0)kykx的单调区间xky0k0k(,0)(0,)，(,0)(0,)，证明：函数f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=21122111xxxxxx由于x1,x2得x1x20,又由x1x2得x2-x10所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),0因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。取值定号变形作差下结论3．证明函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．例4、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。)(为正常数kVkp证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212()()VVkkpVpVkVVVV由V1，V2∈(0，+∞)得V1V20,由V1V2，得V2-V10又k0,于是0)()(21VpVp)()(21VpVp即所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,VVkp取值定号变形作差结论☞判断函数在区间(0,1)上的单调性.2()1xfxx解:设则f(x1)－f(x2)12221211xxxx)1)(1(222122121221xxxxxxxx12212212(1)().(1)(1)xxxxxx∵0＜x1＜x2＜1,∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,221210,10,xx∴f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2).故此函数在(0,1)上是减函数.1201,xx4.判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,+∞)上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论.1212:(),,解在，上任取且xxxx))(()1()1()()(22221123231211xxxxxxxxxfxf222211243)2()(xxxxx043)2(,02222112xxxxx又)()(,0)()(2121xfxfxfxf即所以f(x)在(－∞,0)上是减函数例：已知函数f(x)是定义在（-∞，+∞）上的单调增函数，解不等式f(2x)f(1+x)的大小关系是则上是增函数，且在思考：若2121,),()(R)(xxxfxfxf例：已知函数f(x)是定义在（-1，1）上的单调增函数，解不等式f(2x)f(1+x)1.已知函数f(x)是定义在[-1,2)上的增函数，若f(a-1)f(1-3a)，求实数a的取值范围。的大小。与比较上是减函数，，在已知函数)43()1()(0)(.22faafxf()fx是定义在R上的单调函数，且的图象过点A（0，2）和B（3，0）（1）解不等式（2）求适合的的取值范围()fx(2)(1)fxfx()2()0fxfx或x思考与讨论f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数，那么f(x)和g(x)四则运算后在该区间D内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？1.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则F(x)=f(x)+g(x)为增函数。2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则F(x)=f(x)+g(x)为减函数。3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则F(x)=f(x)-g(x)为增函数。4.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则F(x)=f(x)-g(x)为减函数。1.已知函数f(x)的定义域为R，且对任意，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x0时，f(x)0恒成立，证明：函数f(x)是R上的减函数；,abR证明抽象函数的单调性上是增函数。在区间证明：，时，有，当都有，，且对一切的定义域为已知)(0,)(0)(1)(-)()(00,)(0,)(.2xfxfxyfxfyxfyxxf三、归纳小结1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论2.直接利用初等函数的单调区间。)(.1xf设函数