千题百炼――高中数学100个热点问题(三)：第79炼 利用点的坐标解决圆锥曲线问题

第九章利用点的坐标处理解析几何问题解析几何利用点的坐标处理解析几何问题有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。一、基础知识：1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与12121212,,,xxxxyyyy相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。2、利用点坐标解决问题的优劣：（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受12121212,,,xxxxyyyy形式的约束（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得复杂导致运算繁琐。那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入3、求点坐标的几种类型：（1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑把点的坐标解出来（用核心变量进行表示）（2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或因式分解求解）4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。（整体代入是解析几何运算简化的精髓）二、典型例题：例1：已知椭圆2222:10xyCabab上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点,AB分别是椭圆C的左右顶点第九章利用点的坐标处理解析几何问题解析几何（1）求圆O和椭圆C的方程（2）已知,PQ分别是椭圆和圆上的动点（,PQ位于y轴的两侧），且直线PQ与x轴平行，直线,APBP分别与y轴交于点,MN，求证：MQN为定值解：（1）依题意可得242aa，O过焦点，且rbbc，再由2224bca可得2bc椭圆方程为22142xy，圆方程为222xy（2）思路：条件主要围绕着P点展开，所以以P为核心，设00,Pxy，由PQ与x轴平行，可得10,Qxy。若要证明MQN为定值，可从MQN的三角函数值下手，在解析中角的余弦值可以与向量的数量积找到联系，从而能够转化为坐标运算。所以考虑cosQMQNMQNQMQN，模长并不利于计算，所以先算QMQN，考虑利用条件设出,APBP方程，进而,MN坐标可用核心变量00,xy表示，再进行数量积的坐标运算可得0QMQN，从而2MQN，即为定值解：设00,PxyPQ与x轴平行，设10,Qxy，由,PQ所在椭圆和圆方程可得：22220000222210104214222xyxyxyxy由椭圆可知：2,0,2,0AB002APykx00:22yAPyxx令0x，可得：0020,2yMx同理：00:22yBPyxx可得0020,2yNx第九章利用点的坐标处理解析几何问题解析几何000000101101000022,,,,,2222yxyyxyQMxyxQNxyxxxxx2222000000112000224xyxyxyQMQNxxxxx，代入22002210422xyxy可得：220022200020422220424yyQMQNyyyyQMQN，即2MQN为定值思路二：本题还可以以,APBP其中一条直线为入手点（例如AP），以斜率k作为核心变量，直线AP与椭圆交于,AP两点，已知A点坐标利用韦达定理可解出P点坐标（用k表示），从而可进一步将涉及的点的坐标都用k来进行表示，再计算0QMQN也可以，计算步骤如下：解：设00,Pxy，由椭圆方程可得：2,0,2,0AB所以设直线:2APykx，联立方程：2222221218840422xykxkxkykx22002284422121Akkxxxkk，代入到直线方程可得：02421kyk222424,2121kkPkk2224121422221BPkkkkkk1:22BPyxk，由:2APykx，令0x可得：10,2,0,MkNk设10,Qxy，则10101,2,,QMxkyQNxyk第九章利用点的坐标处理解析几何问题解析几何222210010012122kQMQNxkyyxyykk由Q在圆上可得：22102xy，再由02421kyk代入可得：2221422021kkQMQNkkQMQN，即2MQN为定值例2：设椭圆222210xyabab的左右焦点分别为12,FF，右顶点为A，上顶点为B，已知1232ABFF（1）求椭圆的离心率（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率解：（1）由椭圆方程可知：,0,0,AaBb，12,0,,0FcFc2212,2ABabFFc222223232abcabc即2222232caaccea（2）由（1）可得::2:1:1abc椭圆方程为222212xycc设00,,0,PxyBc1001,,,FPxcyFBcc以线段PB为直径的圆经过点1F1100000FPFBcxccyyxc联立方程：2222222222yxcxxccxyc，整理可得：第九章利用点的坐标处理解析几何问题解析几何2340xcx，解得：043cx，代入直线方程：03cy41,33Pcc0,Bc可知PB的中点为22,33Tcc，2211415022333rPBcccc圆方程为222225339cxcyc设直线l：ykx22253331Tlkccdck，整理可得：2222251810339kkkk，解得：415k直线l的斜率为415或415例3：（2014，重庆）如图所示，设椭圆222210xyabab的左右焦点分别为12,FF，点D在椭圆上，121121,22FFDFFFDF，12DFF的面积为22（1）求椭圆的标准方程（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径解：（1）设12,0,,0FcFc，由12122FFDF可得：1212222FFDFc12121112222222DFFSFFDFcc，解得211cc12122,2FFDF第九章利用点的坐标处理解析几何问题解析几何在12DFF中，2222112293222DFDFFFDF122222aDFDFa1b椭圆方程为：2212xy（2）如图：设圆与椭圆2212xy相交，111222,,,PxyPxy是两个交点120,0yy，1122,FPFP是圆的切线，且1122FPFP，则由对称性可得：2112,xxyy1212PPx由（1）可得121,0,1,0FF11112222111,,1,1,FPxyFPxyxy221122112211010FPFPFPFPxy，联立方程221122112111034012xyxxxy，解得10x（舍）或143x过12,PP且分别与1122,FPFP垂直的直线的交点即为圆心C由1122,FPFP是圆的切线，且1122FPFP，可得：12CPCP因为12CPCPr12CPP为等腰直角三角形1121242223rCPPPx例4：已知椭圆222210xyabab的焦距为4，设右焦点为1F，离心率为e（1）若22e，求椭圆的方程第九章利用点的坐标处理解析几何问题解析几何（2）设,AB为椭圆上关于原点对称的两点，1AF的中点为M，1BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上①证明：点A在定圆上②设直线AB的斜率为k，若3k，求e的取值范围解：（1）依题意可得：2c22cae2224bac所以椭圆方程为：22184xy（2）①思路：设00,Axy，则00,Bxy，由此可得,MN坐标（用00,xy进行表示），而O在以MN为直径的圆上可得：0OMON，所以得到关于00,xy的方程，由方程便可判定出A点的轨迹解：设00,Axy，则00,Bxy。因为12,0F，且,MN为11,AFBF的中点所以有000022,,,2222xyxyMNO在以MN为直径的圆上OMON000022002222xxyyOMON2222000040444xyxyA点在定圆224xy上②2222222222221144ykxkxxxyababxkxxy消去x可得：222211=14kkab（*）而222224,4cebacaae，224ae代入（*）可得：422221321eeke第九章利用点的坐标处理解析几何问题解析几何42284021eee01e所以解得：214232e2312e例5：已知椭圆222210xyabab的上顶点为B，左焦点为F，离心率为55（1）求直线BF的斜率（2）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，PMMQ①求的值②若75sin9PMBQP，求椭圆方程解：（1）由55cea可知::5:2:1abc设,0Fc，0,0,2Bbc2020BFckc（2）①设1122,,,PxyQxy:22BPyxc::5:2:1abc椭圆方程为：2222154xycc联立方程：222222452045222022xycxxccyxc，整理后可得：224400xcx可解得：153cx54,33ccP因为BQBP12BQk设1:22BQyxc第九章利用点的坐标处理解析几何问题解析几何联立方程：22222245201452201222xycxxccyxc，整理后可得：221400xcx，解得24021cx，即4022,2121ccQ设00,My，PQ斜率为k，由弦长公式可知：225510133ccPMkk2240401012121ccQMkk225173408121ck