千题百炼――高中数学100个热点问题(三)：第99炼 归纳推理与类比推理

第十二章第99炼归纳推理与类比推理其它高考考点第99炼归纳推理与类比推理一、基础知识：（一）归纳推理：1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理2、处理归纳推理的常见思路：（1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律（2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律）（3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意3、常见的归纳推理类型：（1）函数的迭代：设f是DD的函数，对任意xD，记0121,,,nnfxxfxfxfxffxfxffx，则称函数nfx为fx的n次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其nfx通常具备某些特征（特征与n）有关。在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到nfx的通式（2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和。（3）数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式）（4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ija进行表示，其中i代表行，j代表列。例如：34a表示第3行第4列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。（二）类比推理：第十二章第99炼归纳推理与类比推理其它高考考点1、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）2、常见的类比类型及处理方法：（1）运算的类比：通常是运算级数相对应：①加法乘法，②数乘（系数与项的乘法）指数幂③减法除法（2）运算律的类比：在数学中的其它领域，如果满足加法，乘法的交换律，以及乘法的分配律，则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如①在向量数量积的运算中，满足交换律与分配律，则：代数中的平方差公式：22ababab，和差完全平方公式：2222abaabb均可推广到向量数量积中：22ababab，2222abaabb②在复数的运算中，满足交换律与分配律，则实数中的运算公式可推广到复数中（甚至是二项式定理）（3）等差数列与等比数列的类比：等差数列的性质通常伴随着一，二级运算（加减，数乘），等比数列的性质通常伴随着二，三级运算（乘除，乘方）。所以在某些性质中体现出运算上的类比。例如：设na为等差数列，公差为d；nb为等比数列，公比为q，则①递推公式：11nnnnbaadqb②通项公式：1111nnnaandbbq③双项性质：mnpqmnpqmnpqaaaamnpqbbbb④等间隔取项，在数列na，nb中等间隔的取项：则12,,,mkkkaaa成等差数列12,,,mkkkbbb成等比数列（4）维度的类比：平面几何（二维）的结论与立体几何（三维）的结论进行类比，当维度升高时，涉及的要素也将维度升高，例如：①位置关系：平面中的线的关系空间中的面的关系，线所成的角线面角或二面角，第十二章第99炼归纳推理与类比推理其它高考考点②度量：线段长度图形的面积，图形面积几何体体积，点到线的距离点到平面距离③衍生图形：内切圆内切球，外接圆外接球，面对角线体对角线（5）平面坐标与空间坐标的类比：平面直角坐标系坐标,xy空间直角坐标系坐标,,xyz，在有些坐标运算的问题中，只需加上竖坐标的运算即可完成推广，例如：①线段中点坐标公式：平面：设1122,,,AxyBxy，则AB中点1212,22xxyyM空间：设111222,,,,,AxyzBxyz，则AB中点121212,,222xxyyzzM②两点间距离公式：平面：设1122,,,AxyBxy，则221212ABxxyy空间：设111222,,,,,AxyzBxyz，则222121212ABxxyyzz3、同一个命题，不同的角度类比得到的结论可能不同，通常类比只是提供一个思路与方向，猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为类比的结论二、典型例题：例1：已知xxfxe，定义'''1211,,,nnfxfxfxfxfxfx，经计算123123,,,,xxxxxxfxfxfxeee照此规律，则20151f（）A.2015B.2015C.2014eD.2014e思路：由定义可知：nfx即为1nfx的导函数，通过所给例子的结果可以推断出1nnxxnfxe，从而20152015xxfxe，所以201520141fe答案：C例2：蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为（）第十二章第99炼归纳推理与类比推理其它高考考点A.61B.90C.91D.127思路：从所给图中可发现第n个图可以视为在前一个图的基础上，外面围上一个正六边形，且这个正六边形的每条边有n个小正方形，设第n个图的蜂巢总数为fn，则可知fn比1fn多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。即66n（每条边n个，其中顶点被计算了两次，所以要减6），所以有161fnfnn，联想到数列中用到的累加法，从而由21612133fnfnnnn，且11f则2331fnnn。代入6n可得263636191f答案：C例3：将正整数排成数阵（如图所示），则数表中的数字2014出现在（）A.第44行第78列B.第45行第78列C.第44行第77列D.第45行第77列思路：从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数，即第k行最后一个数为2k，所以考虑离2014较近的完全平方数：22441936,452025，所以2014位于第45行，因为1936是第44行的最后一个数，所以2014为第45行中第2014193678个数，即位于第45行第78列答案：B例4：已知结论：“在ABC中，各边和它所对角的正弦比相等，即sinsinsinabcABC”，若把该结论推广到空间，则结论为：“在三棱锥ABCD中，侧棱AB与平面ACD，平面BCD所成的角为,，则有（）A.sinsinBCADB.sinsinADBCC.sinsinBCDACDSSD.sinsinACDBCDSS思路：本题为维度推广题，平面中的线段所成的夹角推广为线面角，所以可将正弦定理的边长（一维度量）类比推广为面积（二维度量），正弦定理中为角所对的边长，则在三棱锥中推广为线面角所对的侧面面积，即所对的侧面为平面BCD，所对的侧面为平面ACD，第十二章第99炼归纳推理与类比推理其它高考考点所以猜测sinsinBCDACDSS，再考虑证明其正确性。证明过程如下：证明：分别过,BA作平面ACD，平面BCD的垂线，垂足分别为,EF由线面角的定义可知：,BAEABF11sin33BACDACDACDVSBESAB同理：11sin33ABCDBCDBCDVSAESAB11sinsinsinsin33ACDBCDACDBCDSABSABSSsinsinBCDACDSS得证答案：C例5：三角形的面积12Sabcr，其中,,abc为其边长，r为内切圆半径，利用类比法可以得出四面体的体积为（）A.123412VSSSSr（其中1234SSSS分别为四个面的面积，r为内切球的半径）B.13VSh（S为底面面积，h为四面体的高）C.123413VSSSSr（其中1234SSSS分别为四个面的面积，r为内切球的半径）D.13Vabbcach（,,abc为底面边长，h为四面体的高）思路：本题为维度题，在三角形中，面积依靠内切圆半径与边长求解。则在四面体中，内切圆类比成内切球，边长类比为面积。所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关，即在A，C中挑选。考虑在三角形中，可通过连接内心与各顶点，将三角形分割为三个小三角形，底边为各边边长，高均为半径r，所以面积12Sabcr，其中系数12来源于三角形面积公式。进而类比到四面体中，可通过连接内切球的球心与各顶点，将四面体分割为4个小四面体，以各面为底面，内切球半径为高。从而123413VSSSSr。系数13来源于棱锥体积公式答案：C第十二章第99炼归纳推理与类比推理其它高考考点例6：若数列na是等比数列，且0na，则数列12nnnbaaanN也是等比数列.若数列na是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（）A.12nnaaabn是等差数列B.12nnaaabn是等差数列C.12nnnbaaa是等差数列D.12nnnaaabn是等差数列思路：考虑在等比数列中，很多性质为应用二三级运算（乘除法，乘方开方），到了等差数列中，很多性质可类比为一二级运算（加减，数乘）。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方，所以可联想到类比等差数列，乘法运算对应类比为加法，开方运算对应类比为除法。所以该性质为：若数列na是等差数列，则12nnaaabn是等差数列。这个命题是正确的，证明如下：证明：设等差数列na的公差为d，则1211211nnnnnaaaaaaabbnn1211211nnnnaaaanaaann112111111nnnnnnnaaaaaaaaaannnnna为等差数列11,1,2,,niaanidin1111221112nnnndndndddndbbnnnnnnnb为公差是2d的等差数列答案：B例7：对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂”：32=35，337911，3413151719，…，仿此，若3m的“分裂数”中有一个是61，则m的值是（）A.6B.7C.8D.9第十二章第99炼归纳推理与类比推理其它高考考点思路：观察这几个等式不难发现以下特征：（1）3n可分解为n个连续奇数的和，（2）从32开始这些奇数是按3,5,7,9,顺次排列的。所以在第n个数时，所用的奇数的总数为21232nnn个。从3开始算起，61是第6131302个奇数。当7n，可知所用的奇数总数为27个，