第二章-平面体系的几何组成分析

第2章平面体系的几何组成分析GeometricConstructionAnalysisofSystem§2-1概述§2-2平面体系的自由度计算§2-3几何不变体系的基本组成规则§2-4几何组成分析例题§2-5几何构造与静力特征的关系§2-6几何组成分析的其它方法2020/2/8结构力学§2-1概述一、基本概念1、基本假定：不考虑材料应变，即所有杆件均为刚体。2、几何不变体系(geometricallystablesystem)：不考虑材料应变，在任何荷载作用下，几何形状和位置均保持不变的体系。2020/2/8结构力学3、几何可变体系(geometricallyunstablesystem)：不考虑材料应变，在一般荷载作用下，几何形状或位置将发生改变的体系。4、瞬变体系(instantaneouslyunstablesystem)：原为几何可变，经微小位移后即转化为几何不变的体系。微小位移后，不能继续位移几何可变2020/2/8结构力学5、刚片(rigidplate)：几何形状不能变化的平面物体，即平面刚体。体系块杆件(形状、构造不限)6、自由度(degreeoffreedom)：确定物体位置所必需的独立的几何参数数目。xyAn=2xy平面内一点xy平面刚片xyn=32020/2/8结构力学xy7、约束(constraint)：限制物体运动的装置。外部约束－支座内部约束－结点约束(位置)链杆铰接刚接(形式)(1)链杆：xyxy平面刚片n=3增加1链杆n=2x1根链杆相当于1个约束。自由度减少1个链杆(2)铰接单铰：连接两个刚片的铰。复铰：连接三个或三个以上刚片的铰。单铰复铰2020/2/8结构力学联结5个刚片的复铰相当于8个约束，或4个单铰。xyxy每个刚片3个自由度2个刚片共6个自由度单铰单铰联结后，自由度减少2个共4个自由度1个单铰相当于2个约束。xyxy复铰复铰联结后，自由度由9个减少为5个联结3个刚片的复铰相当于4个约束，或2个单铰。同理，4个刚片用1单铰联结后，自由度由(3×4=12)个，减少为(2+4=6)个。联结4个刚片的复铰相当于6个约束，或3个单铰。联结5个刚片的复铰相当于?约束，或?个单铰。……联结n个刚片的复铰相当于几个单铰？联结n个刚片的复铰相当于2(n-1)个约束，或(n-1)个单铰。2020/2/8结构力学两独立杆件n=3×2＝61个刚结点相当于3个约束。自由度减少3个(3)刚接单刚：连接两个刚片的刚结点。复刚：连接三个或三个以上刚片的刚结点。两杆件刚接形成一刚片n=3联结3个刚片的复刚相当于6个约束，或2个单刚。同理，可得联结4个刚片的复刚相当于9个约束，或3个单刚。联结5个刚片的复刚相当于12个约束，或4个单刚。······联结n个刚片的复刚相当于3(n-1)个约束，或(n-1)个单刚。2020/2/8结构力学(4)三种约束形式之间的关系单铰两链杆单刚一铰一链杆约束数量相同8、多余约束(redundantconstraint)：体系增加一个约束后，体系的自由度并不因此而减少，该体系称为多余约束。多余约束联结相同两个刚片的两根链杆，在链杆交点处形成一个虚铰。Ⅰ1ⅡA2虚铰(Ⅰ,Ⅱ)Ⅰ1ⅡB2Ⅲ不形成虚铰Why？2020/2/8结构力学二、几何组成分析的目的判别体系是否几何不变，是否能用作结构。三、构成几何不变体系的条件1、约束的数量足够多。比如：一个刚片有3个自由度，与基础相联构成几何不变体系，至少需要3个约束。几何不变︸约束数量不足，几何可变2、约束的布置要合理。︸约束布置不合理，几何可变(通过体系的计算自由度判别约束数量是否够）(通过几何不变体系的组成规则判别约束布置是否合理）2020/2/8结构力学视体系由刚片(杆件)组成，结点和支座作为约束。设体系中，刚片数量为M，约束有：R个刚结点(单刚)，H个铰结点(单铰)，S根支杆。则体系计算自由度为注意：⑴刚片应为无多余约束的几何不变体系。§2-2平面体系的自由度计算一、计算自由度体系计算自由度＝(所有对象自由度之和)－(全部约束数量)平面体系按组成对象不同可分为：平面刚片体系平面链杆体系二、平面刚片体系的计算自由度)23(3SHRMW比如：(可变体系)(有多余约束)均不可作为刚片⑵复铰、复刚应化为有效数量的单铰、单刚。2020/2/8结构力学解法一：将AB、BC、CD、DE、FG、GH、HI、IJ、GB、HC、ID看作刚片，故刚片数量M＝11。例题1计算图示体系自由度。ABCDEFGHIJB、C、D、G、H、I是连接三个刚片的复刚结点，每个结点相当于2个单刚结点，故刚结点数量R＝12。F、J是单铰支座，铰结点数量H=2。A、E支座共三根支杆，S=3。∴W＝3×11－（3×12＋2×2+3）＝33－43＝－10解法二：将(ABCDE+BG+CH+DI)、FGHIJ看作刚片，M＝2。G、H、I是连接两个刚片的单刚结点，R＝3。F、J是单铰支座，铰结点数量H=2。A、E支座共三根支杆，S=3。∴W＝3×2－（3×3＋2×2+3）＝6－16＝－102020/2/8结构力学不考虑体系的3个整体自由度，对应于体系的形状，引入内部可变度(V=W-3)，即3)23(3SHRMV例题2计算图示体系的内部可变度。解：将AB、BC、CD、BE、CF、AG、DG看作刚片，M＝7。A、D、E、F、G是连接两个刚片的单刚结点，B、C是连接三个刚片的复刚结点，故H＝9。刚结点数量R=0，支杆数量S=0。DABCEFG∴V＝3×7－（2×9）－3＝0三、平面链杆体系的自由度视体系由结点组成，所有链杆作为约束。设体系中，结点数量为J，约束有：B根链杆(内部杆件)，S根支杆(外部约束)。则体系计算自由度为两端均为铰的杆件)(2SBJW32BJV体系内部可变度为2020/2/8结构力学解法一(按链杆体系)：例题3计算图示体系的自由度。所有结点都是铰结点，J＝16。链杆数量B=28，支杆数量S=3。∴W＝2×16－（28＋3）＝32－31＝1解法二(按刚片体系)：将图示三角形视为刚片，M＝8。刚片间单铰H＝8。链杆(包括支座)数量S=7。无刚结点。∴W＝3×8－（2×8＋7）＝24－23＝12020/2/8结构力学解：按链杆体系计算，6个铰结点，12根链（支）杆。例题4计算图示体系的自由度。∴W＝2×6－12＝0讨论：计算自由度＜真实自由度，真实自由度＝计算自由度＋多余约束。体系计算自由度等于多少？计算自由度W=0体系真实自由度等于多少？原体系几何不变且无多余约束下部减少一个约束几何可变，1个自由度上部增加一个约束仍保持几何不变真实自由度W=1⑴计算自由度是否等于真实自由度？有多余约束时，计算自由度≠真实自由度。无多余约束时，计算自由度＝真实自由度。⑵有多余约束时，计算自由度、真实自由度和多余约束之间的关系？2020/2/8结构力学四、计算自由度与几何组成性质的关系1、W＞0或V＞0，约束数量不足，体系几何可变。2、W＝0或V＝0，具备称为几何不变体系所要求的最少约束数量。3、W＜0或V＜0，体系具有多余约束。即，W≤0或V≤0是几何不变的必要条件，确定几何组成性质尚应判别约束布置是否合理。W＞0体系几何可变W≤0体系几何不变总结：2020/2/8结构力学AⅠ21§2-3几何不变体系的基本组成规则基本出发点——三角形规则。根据描述的对象不同，归纳为三个规则。规则一(点刚片规则)：一点一刚片，用不共线的两根链杆相联，几何不变且无多余约束。AⅠ21A’瞬变体系符合规则一的两根链杆称为二元体。在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何组成性质。二元体2020/2/8结构力学减二元体简化分析加二元体形成体系如何减二元体？2020/2/8结构力学AⅠⅡ1123虚铰ⅠⅡAⅠ1Ⅱ规则二(两刚片规则)：两刚片通过不共点的三链杆，或不共线的一铰一链杆相联，几何不变且无多余约束。共线，瞬变ⅠⅡ123共点，瞬变ⅠⅡ123ⅠⅡ123平行不等长，瞬变平行等长，可变2020/2/8结构力学虚铰ⅡⅢⅠ规则三(三刚片规则)：三刚片通过不共线的三铰两两相联，几何不变且无多余约束。共线，瞬变ⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)ⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅱ)ⅢⅠⅡ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)共线，瞬变ⅠⅡⅢ(Ⅱ,Ⅲ)水平∞(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)三铰在水平线上共线，瞬变ⅠⅢⅡ(Ⅰ,Ⅱ)竖向∞(Ⅰ,Ⅲ)竖向∞(Ⅱ,Ⅲ)三铰在竖直线上共线，瞬变2020/2/8结构力学ⅠⅡⅢ(Ⅱ,Ⅲ)水平∞ⅠⅢⅡ(Ⅰ,Ⅱ)竖向∞(Ⅰ,Ⅲ)竖向∞ⅠⅢⅡ(Ⅱ,Ⅲ)几何不变三铰在∞处共线，瞬变(Ⅱ,Ⅲ)水平∞几何可变2020/2/8结构力学§2-4几何组成分析例题几何组成分析的一般思路：1、计算自由度，判别约束的数量是否足够。2、在约束数量足够的前提下，应用三个规则判别约束布置是否合理。熟练后，第1步工作可以不单独做，而放在第2步中与第2步工作同时完成。但应注意既不能漏掉约束，也不能重复利用约束；即：所有约束都应被用，且仅被使用一次。约束布置是否合理的判别（第2步），是几何组成分析的难点，因为三个规则的应用比较灵活，有一定的技巧。总体建议按照“先简化、后合成”的步骤分析。以下结合5个例题介绍几何组成分析的一般步骤。2020/2/8结构力学几何组成分析的一般步骤：简化：⒈基础的简化与处理：⑴基础与体系通过满足规则二的三个约束(不共点的三链杆或不共线的一铰一链杆)相联，去掉基础，不影响体系的几何组成。⑵基础与体系的联系超过三个约束，基础必须作为一个刚片(或链杆)。⒉二元体的简化：如有二元体，首先去掉二元体。合成：⒈在不能简化的前提下，利用三角形规则将多个刚片合成为一个刚片。⒉合成过程注意问题：⑴有多种合成方式可供选择时，优先选择不能作为链杆的杆件进行合成。⑵两刚片确定后，第三刚片按“两两通过两个约束相联”的原则寻找。例1例2例3例4例52020/2/8结构力学解：⑴基础与体系的联系符合规则二，去掉基础，不影响体系的几何组成。⑵刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ满足三刚片规则，几何不变且无多余约束。返回例题1分析图示体系的几何组成性质。去掉基础ⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)例题2分析图示体系的几何组成性质。解：⑴基础与体系的联系超过三个，基础必须作为刚片。⑵刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ满足三刚片规则，几何不变且无多余约束。ⅡⅢⅠ(Ⅰ,Ⅱ)水平∞(Ⅰ,Ⅲ)竖向∞(Ⅱ,Ⅲ)返回体系基础本例强调基础的简化本例强调基础的处理2020/2/8结构力学解：⑴AB-AC构成二元体，去掉。⑵左右构造相同，几何组成性质一样，取左半侧。⑶左侧部分满足规则二(基础视为一根链杆)，几何不变且无多余约束。例题3分析图示体系的几何组成性质。去掉二元体ⅠⅡBAC123本例强调二元体的简化返回2020/2/8结构力学Ⅲ解：⑴Ⅰ、Ⅱ均为合成刚片。Ⅰ、Ⅱ与基础刚片Ⅲ符合三刚片规则，构成合成刚片Ⅳ。⑵通过“三刚片两两之间用两个约束相联”确定刚片Ⅴ、Ⅵ。刚片Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ三铰共线，瞬变体系。例题4分析图示体系的几何组成性质。ⅠⅡ本例强调刚片的合成返回(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)ⅣⅤⅥ(Ⅳ,Ⅴ)(Ⅴ,Ⅵ)(Ⅳ,Ⅵ)12342020/2/8结构力学Ⅰ解：⑴基础与体系联系超过3个约束，作为刚片Ⅰ。⑵两个三角形部分可作为合成刚片，但两个均作合成刚片，无法分析。故，只能选择其中一个作为合成刚片，另一个需拆除。保留右侧三角形作为合成刚片Ⅱ。⑶三铰不共线，几何不变。例题5分析图示体系的几何组成性质。本例强调刚片合成过程中应注意的两个问题(Ⅰ,Ⅱ)选择哪个三角形作为合成刚片呢？被拆除的三角形中，杆件必须是可以用作链杆的。即，优先选择不能作为链杆的杆件进行合成。怎样选择第三个刚片呢？Ⅱ与已有的两个刚片之间两两通过两个约束(链杆)相联。Ⅲ(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)2020/2/8结构力学调整后新体系三刚片的三铰共线，瞬变体系。例题6将例5所示体系的杆件布置稍作调整，其几何组成性质有何变化？Ⅰ(Ⅰ,Ⅱ)ⅡⅢ(Ⅰ,Ⅲ)(