2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第五单元第四节 三角函数的图象与性质(Ⅱ)

第四节三角函数的图象与性质(Ⅱ)基础梳理1.作y=Asin(ωx+φ)的图象主要有以下两种方法：（1）用“五点法”作图.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ,由z取来求出相应的x，通过列表计算得出五点坐标，描点后得出图象.（2）由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象.有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,223,,2,0方法一：先平移后伸缩y=sinx向左(φ＞0)或向右（φ＜0）y=sin(x+φ)横坐标变为原来的倍平移|φ|个单位1纵坐标不变纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y=Asin(ωx+φ).y=sin(ωx+φ).方法二：先伸缩后平移y=sinxy=sinωx横坐标变为原来的倍纵坐标不变1向左（φ＞0）或向右(φ＜0)平移个单位y=sin(ωx+φ).纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y=Asin(ωx+φ).2.y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0),x∈［0,+∞)表示一个振动量时，A叫振幅，叫周期，叫频率，ωx+φ叫相位，x=0时的相位φ称为初相.上述概念是在A0且ω0的前提下的定义,否则当A0或ω0,则φ就不能称为初相.2T1f2T题型一三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象【例1】已知函数(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.典例分析32x2siny32x2siny分析（1）由振幅、周期、初相的定义即可解决.（2）五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点.（3）只要看清由谁变换得到谁即可.解(1)的振幅A=2,周期T=π,初相(2)令32x2siny3x2sin32x2siny,32xx）（则xX′0y=sinx′010-10020-2032x2siny6123127652232(3)方法一：把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象，再把的图象上的点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）,得到的图象，最后把上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到的图象.33xsiny3xsiny32xsiny32x2siny32xsiny方法二：将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位，得到的图象；再将的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到的图象.)3sin(2x)]6sin[2(xy6)3sin(2xy32x2siny学后反思（1）作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象.（2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用来确定平移单位.)x(x举一反三1.已知函数f(x)=2sinx·(sinx+cosx).（1）求函数f(x)的最小正周期和最大值；（2）在直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间上的图象.,22解析:(1)f(x)=2+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+（sin2xcos-cos2xsin）=1+sin（2x-）,所以函数f(x)的最小正周期为π,最大值为1+.(2)由(1)知2sinx244242xy211-11+22223883882故函数y=f(x)在区间上的图象是,22题型二三角函数y=Asin(ωx+φ)的解析式【例2】已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象如右图所示.（1）求此函数的解析式f1(x);(2)求与f1(x)图象关于直线x=8对称的曲线的解析式f2(x).分析(1)由图象得振幅A=,曲线是先上升后下降，所以(-2,0)是第一零点，从而T=2［6-(-2)］=16.(2)函数的对称转化为点的对称，利用“转移法”求解.2解(1)由图象可知，A=,=2×(6+2)=16,ω=,即y=sinx+φ,将x=2,y=代入，得=sin(×2+φ),即sin(+φ)=1,解得φ=.∴f′(x)=sin(x+).(2)设（x′,y′）是f1(x)图象上的任意点，与它关于直线x=8对称的点为(x,y),则代入y=f1(x)中,得,∴f2(x)=.22828222844284''168,2'',xxxxyyyy即2sin162sin284842sin84xyxx2sin84x学后反思(1)在由图象求解析式时，“第一零点”的确定是很重要的，尽量使A取正值，由f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的一段图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法:(i)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0,则令ωx0+φ=0（或ωx0+φ=π）即可求出φ.T2(ii)代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ.若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.（2）利用图象特征确定函数解析式y=Asin(ωx+φ)+k或根据代数条件确定解析式时，要注意以下几种常用方法：(i)振幅A=(ymax-ymin).(ii)相邻两个最值对应的横坐标之差，或者一个单调区间的长度为，由此推出ω的值.(iii)确定φ值，一般用给定特殊点坐标代入解析式确定.212T举一反三2.(2009·江苏模拟)函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜,x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为________.2解析：由图象可知，A=-4,=8,∴设,代入最低点坐标（2,-4）,可得2T8162)x8-4sin(y4,0k,2||42kZ),(k22k41,)4sin(时当)4x8-4sin(y答案：)4x8-4sin(y题型三三角函数y=Asin(ωx+φ)模型【例3】如图，某地夏天从8—14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；（2）写出这段曲线的函数解析式.分析在实际背景中抽取出基本的数学关系是解题的关键所在.解(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度.（2）观察图象可知，从8~14时的图象是y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.∴A=×(50-30)=10,b=×(50+30)=40.=14-8=,∴ω=,∴y=10sin(x+φ)+40,将x=8,y=30代入上式，解得φ=.∴所求解析式为y=10sin(x+)+40,x∈[8,14].12122T12266666学后反思①将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；②利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.举一反三3.右图为游览车的示意图，该游览车半径为4.8m,圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一周，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；（2）设从OA开始转动，经过t秒到达OB,求h与t之间的函数解析式.解析：（1）由已知作图，过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点，当θ＞时，∠BOM=θ-.∴h=|OA|+0.8+|BM|=4.8sin(θ-)+5.6,经验证当0≤θ≤时，上述关系也成立.（2）点A在⊙O上逆时针运动的角速度是(已知60秒转动一周)，∴t秒转过的弧度数为t.∴h=4.8sin(t-)+5.6,t∈[0,+∞).22223030302题型四三角函数y=Asin(ωx+φ)的综合应用【例4】(14分)(2008·山东）已知函数为偶函数，且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为(1)求的值；0),)(0xcos(-)xsin(3f(x)8f（2）将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.6分析（1）先把函数化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式，再利用奇偶性和对称性求出函数f(x)的解析式，进而求出(2)利用函数图象的变换确定出新函数y=g(x)的解析式，再求出其单调递减区间.)8(f解因为f(x)为偶函数，所以对任意x∈R,f(-x)=f(x)恒成立)6x2sin()xcos(21-)xsin(232)xcos(-)xsin(3(1)f(x)因此即整理,得因为ω0,且x∈R,所以)6xsin()6-xsin(-)6-xsin(cos)6-cos(xsin)6-xsin(cos)6-xcos(sin-0)6-xcos(sin26-0)6-cos(又因为0φπ,故xcos2)2xsin(2)(xf所以由题意得,所以ω=2,故f(x)=2cos2x.因此22224cos28f(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象.所以当2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时，g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为66xf64xf)32(2cos)]64(2cos[2)64(g(x)xxx32xx3238Z)(k38,4k324k学后反思本题是一个三角函数的综合题，综合考查了三角函数的奇偶性、对称性、单调区间的求解，还有图象的平移问题.解题的关键是明确正弦函数图象的对称性与周期性之间的关系，一般地，正余弦函数图象相邻的两条对称轴（或两个相邻的对称中心）的距离等于函数的半个周期，因此，正弦函数和余弦函数图象上任意两条对称轴（或两个对称中心）之间的距离为其中T为函数的最小正周期；正余弦函数图象的任一条对称轴与它相邻的对称中心之间的距离恰好是周期的14，所以正余弦函数图象的任一条对称轴和任意一个对称中心之间的距离是Z),(k2T|k|Z)T(k4|1-2k|举一反三4.已知函数f(x)=sin（ωx+）+sin（ωx-）-,x∈R(其中ω0).(1)求函数f(x)的值域；（2）若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为，求函数y=f(x)的单调增区间.66222cosx2解析：（1）f(x)=由-1≤sin(ωx-)≤1,得-3≤2sin(ωx-)-1≤1.可知函数f(x)的值域为［-3,1］.(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为π,又由ω0,得=π,即得ω=2.于是有f(x)=2sin(2x-)-1,再由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以y=f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).3131sincossincos(cos1)2222312(si