2016年全国高考湖南理科数学试题(部分答案)

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝(A)(－3，－23)(B)(－3，23)(C)(1，23)(D)(23，3)解：∵A＝(1，3)，B＝),(23，∴A∩B＝(23，3)，选D(2)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(A)1(B)2(C)3(D)2解：∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＝y＝1，故|x＋yi|＝2，选B(3)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(A)100(B)99(C)98(D)97解：∵S9＝27，∴a5＝3，又a10＝8，∴d＝1，因此a100＝a10＋90d＝98，选C(4)某公司的班车在7∶00，8∶00，8∶30发车，小明在7∶50至8∶30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(A)31(B)21(C)32(D)43解：几何概型(长度比)，选B(5)已知方程132222nmynmx表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(A)(–1，3)(B)(–1，3)(C)(0，3)(D)(0，3)解：依题意，m2＋n＋3m2－n＝4m2＝1，(m2＋n)(3m2－n)＝(1＋n)(3－n)＞0－1＜n＜3，选A。(6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。若该几何体的体积是328，则它的表面积是(A)17π(B)18π(C)20π(D)28π解：图中几何体是87个球，∴332834873rr，于是S表＝174348722rr，选A(7)函数y＝2x2–e|x|在[–2，2]的图像大致为解：显然题中函数是偶函数，我们不妨考察y＝2x2–ex在[0，2]上的性质。∵y＝4x–ex，∴y＝4–ex＝0x＝ln4[0，2]，并且x[0，ln4]时，y＞0，x(ln4，2]时，y＜0，因此y＝4x–ex在[0，2]上取得极大值4ln4－4＞0，又y|x＝0＝－1＜0，y|x＝0.5＝2–e＞0，y|x＝2＝8–e2＞0，∴y＝4x–ex在[0，2]内仅有一个零点x0，且x0[0，0.5]。于是x(0，x0)时，y＜0，x(x0，2)时，y＞0，选D。(8)若a＞b＞1，0＜c＜1，则(A)ac＜bc(B)abc＜bac(C)alogbc＜blogac(D)logac＜logbc解：∵y＝xc(c＞0)为增函数，∴A错；同理y＝x1－c(1－c＞0)也是增函数，∴B错；又y＝logcx(0＜c＜1)为减函数，∴D错；选C。(9)执行右面的程序图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足(A)y＝2x(B)y＝3x(C)y＝4x(D)y＝5x解：x＝0，y＝1，n＝1x＝0，y＝1不满足x2＋y2≥36n＝2，x＝0.5，y＝2不满足x2＋y2≥36n＝3，x＝1.5，y＝6满足x2＋y2≥36输出x＝1.5，y＝6，选C。(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8解：不妨设抛物线的方程为y2＝2px，则由勾股定理可得222222222225))(()()()(pp，解得p＝4，选B。(11)平面过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，∩平面ABCD＝m，∩平面ABA1B1＝n，则m、n所成角的正弦值为(A)32(B)22(C)33(D)13解：画图即知sin∠A1BD＝sin60＝23，选A。(12)已知函数f(x)＝sin(x＋)(＞0，||≤2)，x＝－4为f(x)的零点，x＝4为y＝f(x)图像的对称轴，且f(x)在51836，单调，则的最大值为(A)11(B)9(C)7(D)5解：依题意，Zmm,4，Znn,24，两式相减得＝2(n－m)＋1，记作＝2k＋1，k＝n－mZ；又f(x)在51836，单调，∴2T≥121836512k≥122k≤11。注意检验。第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝＿＿＿＿解：∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，∴a⊥b，故m＝－2。(14)5(2)xx的展开式中，x3的系数是＿＿＿＿＿＿(用数字填写答案)解：从5个括号中的某一个取2x，其余括号中取x相乘即可，系数为10215C。(15)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2……an的最大值为＿＿＿＿解：∵a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，∴q＝21，a1＝8，于是272112122nnnnnnqaaaa)(≤26＝64。(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为＿＿＿＿元。解：设生产A产品x件，B产品y件，总利润为z，则Nyxyxyxyx,...6003590301505031，且z＝2100x＋900y作出可行域如右图，求得点B的坐标(60，100)，∴z最大＝2100×60＋900×100＝216000(元)。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)(本题满分为12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c。(I)求C；(II)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长。解：(1)∵acosB＋bcosA＝c，∴由2cosC(acosB＋bcosA)＝c得2cosC＝1C＝60(2)∵64321233ababCabsin，又由余弦定理得7＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，∴a＋b＝5，从而△ABC的周长为a＋b＋c＝75。(18)(本题满分为12分)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60。(I)证明：平面ABEF平面EFDC；(II)求二面角E－BC－A的余弦值。解：(1)∵ABEF为正方形，∴AF⊥FE，又∠AFD＝90，∴AF⊥FD，而FE∩FD＝F，∴AF⊥面EFDC，再由AF面ABEF即得平面ABEF平面EFDC。(2)∵AF⊥FE，且AF⊥FD，∴∠DFE＝60是二面角D－AF－E的平面角，由BE⊥EF及平面ABEF平面EFDC，知BE平面EFDCBE⊥EC，因此∠CEF＝60是二面角C－BE－F的平面角。在平面EFDC内过F作FZ⊥EF，知FZ⊥平面ABEF，如图所示，分别以FA、AE、AZ为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。再设FD＝2，AF＝4(满足AF＝2FD)，则A(4，0，0)，B(4，4，0)，E(0，4，0)，又FE∥ABFE∥平面ABCDFE∥DC，因而C(0，3，3)，于是),,(),,,(310004ECEB，),,(),,,(334040ACAB，设平面EBC的法向量为n1＝(x，y，z)，则4x＝0，且y＝3z，取n1＝(0，3，1)，再设平面ABCD的法向量为n2＝(a，b，c)，则4b＝0，且－4a＋3b＋3c＝0，取n2＝(3，0，4)，于是cosn1，n2＝19192403130410330222222)()(。∴二面角E－BC－A的余弦值为－19192。AFEBDC40038036034032030028026024022020018016014012010080604020-20-40-60-80-200-150-100-5050100150200250300350400ABCO(19)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰。机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元。在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数。(I)求X的分布列；(II)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解：(1)依题意，三年内每台机器更换易损零件数为8、9、10、11的概率分别为0.2、0.4、0.2、0.2，所以，三年内2台机器需要更换的易损零件数X可取16、17、18、19、20、21、22。并且P(X＝16)＝04020222..C，P(X＝17)＝160402012...C，P(X＝18)＝2402040212222...CC，P(X＝19)＝24040202012212....CC，P(X＝20)＝20040202012222....CC，P(X＝21)＝08020212..C，P(X＝22)＝04020222..C，故X的分布列为：X16171819202122P(X)0.040.160.240.240.200.080.04(2)∵P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68＞0.5，∴n≥19，n的最小值为19。(3)当n＝19时，所需费用y的分布列如下：y3800430048005300P(y)0.680.200.080.04E(y)＝3800×0.68＋4300×0.20＋4800×0.08＋5300×0.04＝4040当n＝20时，所需费用z的分布列如下：z400045005000P(z)0.880.080.04E(z)＝4000×0.88＋4500×0.08＋5000×0.04＝4080由E(y)＜E(z)知应选择n＝19。20.(本小题满分12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。(I)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M、N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P、Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。解：(1)如图，∵△ACD为等腰三角形，BE∥AC，∴△EBD为等腰三角形，故EB＝ED，更换的易损零件数频数40200111098于是|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|＝4为定值