大学微积分第五节 极限存在准则 两个重要极限

机动目录上页下页返回结束1第五节极限存在准则两个重要极限连续复利一、极限存在准则二、两个重要极限三、连续复利四、小结机动目录上页下页返回结束2一、极限存在准则1.【夹逼准则】【准则Ⅰ】如果数列nnyx,及nz满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn那末数列nx的极限存在,且axnnlim.【证】,,azaynn使得,0,0,021NN机动目录上页下页返回结束3,1ayNnn时恒有当},,max{21NNN取恒有时当,Nn,ayan即,2azNnn时恒有当,azan上两式同时成立,,azxyannn,成立即axn.limaxnn上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限机动目录上页下页返回结束4⑴利用夹逼准则Ⅰ关键是将xn作适当缩放,得到极限容易求的数列yn与zn，且极限相等.【准则Ⅰ′】如果当),(0xUx(或Mx)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx那末)(lim)(0xfxxx存在,且等于A.【注意】准则Ⅰ和准则Ⅰ'称为夹逼准则.⑵利用夹逼准则Ⅰ′关键是对不易求极限的f(x)作适当缩放，得到极限容易求的g(x)与h(x)，且极限相等.机动目录上页下页返回结束5【补例1】).12111(lim222nnnnn求【解】,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼准则得.1)12111(lim222nnnnn抓大头机动目录上页下页返回结束6x1x2x3x1nxnx2.【单调有界准则】满足条件如果数列nx,121nnxxxx单调增加,121nnxxxx单调减少广义单调数列【准则Ⅱ】单调有界数列必有极限.【几何解释】AM机动目录上页下页返回结束7【教材例11】存在，并求此极限值证明：，，设nnnnnxxxxxxxxlim,1111,110010证明：先证其单调性则设,1kkxx0101,021),,2,1,0(0xxxxnxn即由于单调增加，因此数列}{nx211211111nnnnxxxx再由)11()11(111kkkkkkxxxxxx0)1)(1(11kkkkxxxx机动目录上页下页返回结束8则有令极限存在，单调增加有上界，故其所以数列,lim}{axxnnn)11(limlim11nnnnnxxx11aaa有251a解得舍去由题意，负值0251a251limnnx故机动目录上页下页返回结束9【练习】111lim)1(nn［提示］nn111111)1211(lim)2(222nnnnnn［提示］22222)1211(nnnnnnnnnnnn11lim)3(0nxx［提示］nx1nx1x1x1nx1机动目录上页下页返回结束101]1[lim)4(0xxx［提示］),0(1111xxxx由夹逼定理得.1]1[lim0xxx【注】记住[x]的运算性质：xxx][1当x0时111xxx机动目录上页下页返回结束11AC二、两个重要极限(1)1sinlim0xxx)20(,,xxAOBO圆心角设单位圆,tan,,sinACxABxBDx弧于是有xoBD.ACO，得作单位圆的切线,xOAB的圆心角为扇形,BDOAB的高为机动目录上页下页返回结束12,tansinxxx,1sincosxxx即.02也成立上式对于x,20时当xxxcos11cos02sin22x2)2(2x,22x,02lim20xx,0)cos1(lim0xx,1coslim0xx,11lim0x又.1sinlim0xxx机动目录上页下页返回结束13【几何解释】0sin处相切图象在与xxyxy【注】①该极限推广为更一般地情形1sinlim0或1sinlim0【理论根据】复合函数求极限法则②该极限的特点Ⅰ.极限呈未定式极限型00常用不等式：sinRxxx)2,2(tanxxxxyo机动目录上页下页返回结束14【例2】.cos1lim20xxx求【解】2202sin2limxxx原式220)2(2sinlim21xxx20)22sin(lim21xxx2121.21复合函数求极限法则Ⅱ.正弦号后面的变量与分数线对面的变量，若符合以上两个特点，则极限为1；若Ⅰ成立、而Ⅱ不成立，通常是“凑”不含正弦号的那一方的变量，使Ⅱ成立.形式上一致.机动目录上页下页返回结束15【例3】.arcsinlim0xxx求【解】换元法xtarcsin令txsin则00tx，时当于是由复合函数的极限运算法则可得xxxarcsinlim01sinlim0ttt机动目录上页下页返回结束16(2)exxx)11(lim【定义】ennn)11(limnnnx)11(设21!2)1(1!11nnnnn).11()21)(11(!1)11(!2111nnnnnnnnnnnnn1!)1()1(型1exxx10)1(lim或机动目录上页下页返回结束17).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(!21111nnnnnnnnnnnxn,1nnxx显然;是单调递增的nx!1!2111nxn1212111n1213n,3;是有界的nx.lim存在nnxennn)11(lim通常记)71828.2(e类似地,机动目录上页下页返回结束18,1时当x,1][][xxx有,)][11()11()1][11(1][][xxxxxx)][11(lim)][11(lim)][11(lim][1][xxxxxxxx而,e11][][)1][11(lim)1][11(lim)1][11(limxxxxxxxx,e.)11(limexxx机动目录上页下页返回结束19,xt令ttxxtx)11(lim)11(limttt)111(lim)111()111(lim1tttt.eexxx)11(lim,1xt令ttxxtx)11(lim)1(lim10.eexxx10)1(lim机动目录上页下页返回结束20【注】①该极限推广为更一般地情形e)11(lim或e10)1(lim【理论根据】复合函数求极限法则②该极限的特点Ⅰ.极限呈型未定式极限1Ⅱ.括号中“1”后的项连同符号与指数中变量的形式连同符号，互为倒数.在Ⅰ成立的前提下，若Ⅱ不成立，通常是“凑”指数中变量的形式，使之与括号中“1”后面的项（连同符号）互为倒数.机动目录上页下页返回结束21【例4】.)11(limxxx求【解】xxx)11(1lim1])11[(limxxx原式.1e【例5】.)23(lim2xxxx求【解】422)211(])211[(limxxxx原式.2e机动目录上页下页返回结束22【例6】【解】2cos122])cos1[(lim2xxx原式.2e.)cos1(lim2sec222xxx求【例7】【解】xxxxx)11()11(lim原式.11ee.)11(lim2xxx求机动目录上页下页返回结束23则，年利率为称为本金设一笔贷款,)(0rA三、连续复利)1(01rAA一年后本利和2012)1()1(rArAA两年后本利和kkrAAk)1(0年后本利和，则，年利率仍为期计息如果一年分rn，于是一年后的本利和每期利率为nrnnrAA)1(01机动目录上页下页返回结束24nkknrAAk)1(0年后本利和年后的本利和，则称为连续复利复利，即每时每刻计算如果计息期数kn)(rkrkrnnnknkeArnAnrAA00011lim)1(lim.,000为贴现率称利率称为贴现问题，这时求称为复利问题；已知，求称为将来值，已知称为现值，其中rAAAAAAkkk机动目录上页下页返回结束25三、小结1.【两个准则】2.【两个重要极限】夹逼准则;单调有界准则.;1sinlim10某过程.)1(lim210e某过程,为某过程中的无穷小设机动目录上页下页返回结束26【思考题】求极限xxxx193lim机动目录上页下页返回结束27【思考题解答】xxxx193limxxxxx111319limxxxxx313311lim9990e抓大头