2014步步高大一轮数学 第五章5.3 平面向量的数量积

§5.3平面向量的数量积数学RA（理）第五章平面向量基础知识题型分类思想方法练出高分1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量__________叫做a和b的数量积(或内积)，记作_______________规定：零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是________，两个非零向量a与b平行的充要条件是___________.两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．基础知识·自主学习1.向量的数量积是一个实数难点正本疑点清源要点梳理|a||b|cosθa·b＝|a||b|cosθ0a·b＝0a·b＝±|a||b|基础知识题型分类思想方法练出高分2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝________；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔________；两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．基础知识·自主学习1.向量的数量积是一个实数难点正本疑点清源要点梳理|b|cosθ|a|cosθa·b＝0基础知识题型分类思想方法练出高分(3)当a与b同向时，a·b＝_____；当a与b反向时，a·b＝_______，a·a＝__，|a|＝______；(4)cosθ＝______；(5)|a·b|___|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝_____(交换律)；(2)(λa)·b＝______＝______(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝__________.2．a·b0是两个向量a,b夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a，b〉＝0，则a·b0，而a，b夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC中，AB→、BC→的夹角与角B的关系．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理|a||b|－|a||b|a2a·aa·b|a||b|≤b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c3．计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．基础知识题型分类思想方法练出高分5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝或|a|＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.2．a·b0是两个向量a,b夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a，b〉＝0，则a·b0，而a，b夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC中，AB→、BC→的夹角与角B的关系．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理3．计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．x1x2＋y1y2x2＋y2x2＋y2x1－x22＋y1－y22x1x2＋y1y2＝0基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345DC基础知识·自主学习基础自测655－3232基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16(2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于()A．6B．5C．4D．3题型分类·深度剖析题型一平面向量的数量积的运算答案解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16(2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于()A．6B．5C．4D．3题型分类·深度剖析题型一平面向量的数量积的运算(1)由于∠C＝90°，因此选向量CA→，CB→为基底．(2)先算出8a－b，再由向量的数量积列出方程，从而求出x.答案解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16(2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于()A．6B．5C．4D．3题型分类·深度剖析题型一平面向量的数量积的运算(1)AB→·AC→＝(CB→－CA→)·(－CA→)＝－CB→·CA→＋CA2→＝16.(2)∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.答案解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一平面向量的数量积的运算【例1】(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16(2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于()A．6B．5C．4D．3CD(1)AB→·AC→＝(CB→－CA→)·(－CA→)＝－CB→·CA→＋CA2→＝16.(2)∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.答案解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一平面向量的数量积的运算【例1】(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16(2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于()A．6B．5C．4D．3CD求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．答案解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为___；DE→·DC→的最大值为___．解析方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则E(t,0)，t∈[0,1]，则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，所以DE→·CB→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.题型分类·深度剖析因为DC→＝(1,0)，所以DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE→·DC→的最大值为1.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为___；DE→·DC→的最大值为___．题型分类·深度剖析方法二由图知，无论E点在哪个位置，DE→在CB→方向上的投影都是CB＝1，∴DE→·CB→＝|CB→|·1＝1，当E运动到B点时，DE→在DC→方向上的投影最大即为DC＝1，∴(DE→·DC→)max＝|DC→|·1＝1.11基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．题型分类·深度剖析题型二向量的夹角与向量的模思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二向量的夹角与向量的模运用数量积的定义和|a|＝a·a.思维启迪解析探究提高【例2】已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．题型分类·深度剖析题型二向量的夹角与向量的模思维启迪解析探究提高解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．题型分类·深度剖析题型二向量的夹角与向量的模思维启迪解析探究提高∴|a＋b|＝13.(3)∵AB→与BC→的夹角θ＝2π3，∴∠ABC＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC＝12×4×3×32＝33.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二向量的夹角与向量的模(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．思维启迪解析探究提高【例2】已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2(1)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2(2)已知向量a＝(1，3)，b＝(－1,0)，则|a＋2b|等于()A．1B.2C．2D．4题型分类·深度剖析解析(1)∵cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝12，∴〈a，b〉＝π3.(2)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4－4×1＋4＝4，∴|a＋2b|＝2.CC基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0αβπ)．(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)题型分类·深度剖析题型三向量数量积的综合应用思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．(2)由模相等，列等式、化简．思维启迪解析探究提高【例3】已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0αβπ)．(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)向量数量积的综合应用基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0αβπ)．(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高(1)证明∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0，∴a＋b与a－b互相垂直．(2)解ka＋b＝(kcosα＋cosβ，ksinα＋sinβ)，a－kb＝(cosα－kcosβ，sinα－ksinβ)，向量数量积的