2014步步高大一轮数学 第五章5.4 平面向量的应用

§5.4平面向量的应用数学RA（理）第五章平面向量基础知识题型分类思想方法练出高分1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔____________________________.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔______⇔.1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理x1y2－x2y1＝0a＝λb(b≠0)a·b＝0x1x2＋y1y2＝0基础知识题型分类思想方法练出高分(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝_______＝______________(θ为a与b的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理a·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22矢量加法和减法基础知识题型分类思想方法练出高分3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345AB基础知识·自主学习基础自测226m/s90°y2＝8x(x≠0)基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】平面上的两个向量OA→，OB→满足|OA→|＝a，|OB→|＝b，且OA→⊥OB→，a2＋b2＝4.向量OP→＝xOB→＋yOB→(x，y∈R)，且a2x－122＋b2y－122＝1.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：MP→＝x－12OA→＋y－12OB→；(2)求|OP→|的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．题型分类·深度剖析题型一应用平面向量的几何意义解题解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】平面上的两个向量OA→，OB→满足|OA→|＝a，|OB→|＝b，且OA→⊥OB→，a2＋b2＝4.向量OP→＝xOB→＋yOB→(x，y∈R)，且a2x－122＋b2y－122＝1.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：MP→＝x－12OA→＋y－12OB→；(2)求|OP→|的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．题型分类·深度剖析题型一应用平面向量的几何意义解题对第(1)问，可先求OM→，再由条件即可得到结论；对第(2)问，先设点M为线段AB的中点，进而利用第(1)问的结论，并由条件确定P，O，A，B四点共圆，结论即可得到．解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】平面上的两个向量OA→，OB→满足|OA→|＝a，|OB→|＝b，且OA→⊥OB→，a2＋b2＝4.向量OP→＝xOB→＋yOB→(x，y∈R)，且a2x－122＋b2y－122＝1.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：MP→＝x－12OA→＋y－12OB→；(2)求|OP→|的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．题型分类·深度剖析题型一应用平面向量的几何意义解题(1)证明因为点M为线段AB的中点，所以OM→＝12OA→＋12OB→.所以MP→＝OP→－OM→＝(xOA→＋yOB→)－12OA→＋12OB→＝x－12OA→＋y－12OB→.(2)解设点M为线段AB的中点，则由OA→⊥OB→，知|MA→|＝|MB→|＝|MO→|＝12|AB→|＝1.解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】平面上的两个向量OA→，OB→满足|OA→|＝a，|OB→|＝b，且OA→⊥OB→，a2＋b2＝4.向量OP→＝xOB→＋yOB→(x，y∈R)，且a2x－122＋b2y－122＝1.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：MP→＝x－12OA→＋y－12OB→；(2)求|OP→|的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．题型分类·深度剖析题型一应用平面向量的几何意义解题又由(1)及a2x－122＋b2y－122＝1，得|MP→|2＝|OP→－OM→|2＝x－122OA→2＋y－122OB→2＝x－122a2＋y－122b2＝1.所以|MP→|＝|MO→|＝|MA→|＝|MB→|＝1.解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】平面上的两个向量OA→，OB→满足|OA→|＝a，|OB→|＝b，且OA→⊥OB→，a2＋b2＝4.向量OP→＝xOB→＋yOB→(x，y∈R)，且a2x－122＋b2y－122＝1.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：MP→＝x－12OA→＋y－12OB→；(2)求|OP→|的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．题型分类·深度剖析题型一应用平面向量的几何意义解题故P，O，A，B四点都在以M为圆心、1为半径的圆上，所以当且仅当OP为圆M的直径时，|OP→|max＝2.这时四边形OAPB为矩形，则S四边形OAPB＝|OA→|·|OB→|＝ab≤a2＋b22＝2，当且仅当a＝b＝2时，四边形OAPB的面积最大，最大值为2.解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】平面上的两个向量OA→，OB→满足|OA→|＝a，|OB→|＝b，且OA→⊥OB→，a2＋b2＝4.向量OP→＝xOB→＋yOB→(x，y∈R)，且a2x－122＋b2y－122＝1.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：MP→＝x－12OA→＋y－12OB→；(2)求|OP→|的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．题型分类·深度剖析题型一应用平面向量的几何意义解题本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题．求解第(2)问的难点就是如何利用第(1)问的结论来解决新的问题，突破这一难点的关键主要是从设点M为线段AB的中点入手，借助条件及第(1)问的结论，去探究|OP→|的最大值问题．解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1在△ABC所在平面上有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PAB与△ABC的面积之比是()A.13B.12C.23D.34解析由已知可得PC→＝2AP→，∴P是线段AC的三等分点(靠近点A)，易知S△PAB＝13S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3.题型分类·深度剖析A基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二平面向量在物理计算题中的应用【例2】质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．答案解析基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．题型分类·深度剖析题型二平面向量在物理计算题中的应用方法一由已知条件F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－F1－F2，F23＝F21＋F22＋2|F1||F2|cos60°＝28.因此，|F3|＝27.方法二如图，|F1F2→|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1||F2|cos60°＝12，则|OF1→|2＋|F1F2→|2＝|OF2→|2，即∠OF1F2为直角，|F3|＝2F21＋|F1F2→|22＝27.答案解析基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．题型分类·深度剖析题型二平面向量在物理计算题中的应用则F3＝－F1－F2，F23＝F21＋F22＋2|F1||F2|cos60°＝28.因此，|F3|＝27.方法二如图，|F1F2→|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1||F2|cos60°＝12，则|OF1→|2＋|F1F2→|2＝|OF2→|2，即∠OF1F2为直角，|F3|＝2F21＋|F1F2→|22＝27.方法一由已知条件F1＋F2＋F3＝0，27答案解析基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50N，F拉着一个重80N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20m，问F、摩擦力f所做的功分别为多少？题型分类·深度剖析解设木块的位移为s，则F·s＝|F|·|s|cos30°＝50×20×32＝5003(J)，F在竖直方向上的分力大小为|F|sin30°＝50×12＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，所以f·s＝|f|·|s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．∴F，f所做的功分别为5003J，－22J.基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2取最大值时，B的大小．题型分类·深度剖析题型三平面向量与三角函数的交汇解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2取最大值时，B的大小．题型分类·深度剖析题型三解(1)∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，∴sin2A＝34，sinA＝32，∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.(2)y＝2sin2B＋cosC－3B2＝2sin2B＋cos180°－B－A－3B2平面向量与三角函数的交汇＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2取最大值时，B的大小．题型分类·深度剖析题型三＝1－cos2B