11-12学年高二数学课件：3.1.1 数系的扩充与复数的概念(新人教版选修2-2)

•●课程目标•1．在问题情景中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则，方程求根等)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．•2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．•3．了解复数的代数表示法及其几何意义．•4．能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．•●重点难点•本章学习重点：•了解引进复数的必要性、复数的有关概念、复数的代数表示及几何意义以及复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．•本章学习难点：•复数的概念(如复数相等的条件)，复数的几何意义，复数加法的几何意义，复数除法的运算法则及复数的除法．•●学法探究•1．学习本章首先从实际问题情境中，体会数系扩展的必要性，并注意数系扩展的方向和原则，使扩展后的数系能包括原来的数系，原有的运算及运算律在扩展后的数系中仍然成立．•2．复数的概念及复数表示各类数的特征是重要的基础知识，要切实理清脉络，熟练应用．•3．复数、复数的模及复数加、减法的几何意义为我们利用数形结合讨论研究问题提供了方便．要深刻体会复数与复平面内的点、向量之间的对应关系，熟练掌握复数的模与两点间的距离之间的关系．•4．不全为实数的两个复数不能比较大小、z2≠|z2|等复数集与实数集中不同的性质，在学习过程中要逐步体会、归纳总结．•5．复数的运算可类比实数运算中的“合并同类项”“多项式乘法”“分母有理化”等加以记忆．•3．1数系的扩充与复数的概念•3．1.1数系的扩充与复数的概念•了解数系的扩充过程，理解复数的代数表示，理解复数相等的充要条件，能用复数的代数形式解决相关问题．•本节重点：复数的有关概念．•本节难点：复数的分类及复数相等的条件．•2．任意两个复数，只有相等与不等的关系，不能像实数那样比较大小．只有当两个复数都为实数时，才可以比较大小；两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别对应相等，∴a＋bi＝0⇔a＝b＝0.1．i是一个数，是虚数单位，i2＝－1，in＝i(n＝4k＋1k∈Z)－1(n＝4k＋2k∈Z)－i(n＝4k＋3k∈Z)1(n＝4kk∈Z)•3．z＝a＋bi中，a、b∈R的条件应引起足够重视，没有这一条件，a、b就不能称作复数的实部与虚部．•4．复数分类的条件是解决复数问题的依据，要切实掌握．•1．复数的概念与代数形式•我们把形如z＝的数叫做复数，其中i叫做，a、b分别叫做复数z的与•z＝a＋bi(a、b∈R)这一表示形式叫做复数的形式．全体复数所构成的集合C叫做复数集．•C＝．虚数单位实部虚部．代数{a＋bi|a、b∈R}a＋bi(a、b∈R)•4．复数的集合表示•不全为实数的两个复数不能比较大小．•[例1]下列命题中，正确命题的个数是()•①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；•②若a，b∈R且ab，则a＋ib＋i；•③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.•A．0B．1•C．2D．3•[分析]由题目可获取以下主要信息：•①题中给出了三个命题；•②判断正确命题的个数．•解答本题只需根据复数的有关概念判断即可．•[答案]A•[解析]①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．•②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．•③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．•[点评]1.数系扩充的原则•(1)为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，人们引进了一个新数i，叫做虚数单位，并且规定i2＝－1.这样原数集中不能解决的问题在新数集中就能够解决了．•(2)规定i与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，即与原数集不矛盾．•2．关于复数的代数形式•复数z＝a＋bi(a，b∈R)中注意以下几点：•(1)a，b∈R，否则不是代数形式．•(2)从代数形式可判定z是实数，虚数还是纯虚数．•反之，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；•若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；•若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．•下列命题正确的是________．•①若实数a与ai对应，则实数与纯虚数一一对应；•②若z＝a＋bi，则当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；•③复数－i＋1的虚部为－1.•[答案]③•[解析]实数与纯虚数不能建立一一对应关系，故①错；若z＝a＋bi为纯虚数，则需a，b∈R且a＝0且b≠0，题目中漏掉条件a，b∈R，故②错；③显然正确.[例2]m取何实数时，复数z＝m2－m－6m＋3＋(m2－2m－15)i(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？•[分析]在本题是复数的标准形式下，即z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合即可．[解析](1)当m2－2m－15＝0m＋3≠0时，m＝5或m＝－3m≠－3∴当m＝5时，z是实数．(2)当m2－2m－15≠0m＋3≠0时，即m≠5且m≠－3m≠－3∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数．(3)当m2－m－6＝0m＋3≠0m2－2m－15≠0时，即m＝3或m＝－2m≠－3m≠5且m≠－3∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．•[点评]①判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值有意义，如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m＋3≠0，就会酿成根本性的错误，其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，多与少都是不对的，解答后进行验算是很有必要的．•②对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它．这是解复数问题的重要思路之一．•(1)下列命题中假命题是()•A．自然数集是非负整数集•B．实数集与复数集交集为实数集•C．实数集与虚数集交集是{0}•D．纯虚数集与实数集交集为空集•[答案]C•[解析]复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，C是假命题．故选C.•(2)已知a、b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的•()•A．充要条件•B．充分不必要条件•C．必要不充分条件•D．既不充分也不必要条件•[答案]C•[解析]当a＝b＝0时，此复数为0是实数，故A、B不正确；若(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数，则a＋b≠0a－b＝0，⇒a＝b≠0，即a＝b≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a＝b是该复数为纯虚数的必要而不充分条件．故选C.•[例3]已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．•[分析]由M∪P＝P知，M是P的子集，从而可知(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或4i，利用复数相等的条件就可求得m的值．[解析]∵M∪P＝P，∴M⊆P.∴由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得m2－2m＝－1m2＋m－2＝0解之得m＝1.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得m2－2m＝0m2＋m－2＝4，解之得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.•[点评](1)复数相等的条件，是求复数值及在复数集内解方程的重要依据．•(2)根据复数相等的定义可知，在a＝c，b＝d中，只要有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.所以，一般地，两个复数只有说相等或不相等，而不能比较大小，例如，1＋i和3＋5i不能比较大小．•(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值．•(2)已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z＜0，求k的值．[解析](1)∵x、y∈R，∴由复数相等的条件，得x2－y2＝0，2xy＝2.解得x＝1，y＝1，或x＝－1，y＝－1.(2)∵z＜0，k∈R，∴k2－3k＜0k2－5k＋6＝0∴k＝2.•一、选择题•1．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是()•A．A∪B＝C•B．∁UA＝B•C．A∩∁UB＝∅•D．B∪∁UB＝C•[答案]D•[解析]∵B＝{纯虚数}，∴BC，∴B∪∁UB＝C.故应选D.2．以2i－5的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是()A．2－2iB．2＋iC．－5＋5iD.5＋5i•[答案]A[解析]2i－5的虚部为2，5i＋2i2＝－2＋5i的实部为－2，所以新复数为2－2i.故应选A.•3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为()•A．1•B．1或－4•C．－4•D．0或－4•[答案]C[解析]由复数相等的充要条件得4－3a＝a2－a2＝4a解得：a＝－4.故应选C.•二、填空题•4．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的____________条件．•[答案]必要不充分•[解析]当a＋bi为纯虚数时a＝0；当a＝0时，需b≠0，a＋bi才为纯虚数，所以a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件．•5．已知复数z＝m2(1＋i)－(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________；若z是虚数，则m的取值范围是________；若z是纯虚数，则m的值为________．•[答案]±1(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)0•[解析]z＝m2＋m2i－m－i＝(m2－m)＋(m2－1)i•若z是实数，则m2－1＝0，解得m＝±1；•若z是虚数，则m2－1≠0，解得m≠±1；若z是纯虚数，则m2－m＝0m2－1≠0，解得m＝0.•三、解答题•6．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，当实数m取何值时．•(1)z是纯虚数．•(2)z是实数．[解析](1)由题意知lg(m2－2m－2)＝0，m2＋3m＋2≠0.解得m＝3.所以当m＝3时，z是纯虚数．(2)由m2＋3m＋2＝0，得m＝－1或m＝－2，又m＝－1或m＝－2时，m2－2m－20，所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数．