奥赛辅导第3讲动力学一般问题与特殊问题(湖南郴州市湘南中学 陈礼生)

第1页共26页第三讲动力学一般问题与特殊问题湖南郴州市湘南中学陈礼生一、知识点击1．惯性系与牛顿运动定律⑴惯性系：牛顿运动定律成立的参考系称为惯性参考系．地球参考系可以很好地近似视为惯性参考系一切相对地面静止或匀速直线运动的参考系均可视为惯性参考系．⑵牛顿运动定律牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止．牛顿第一定律也称为惯性定律．牛顿第二定律：物体的加速度与其所受外力的合力成正比，与物体的质量成反比，其方向与合外力的方向相同．即Fma．常作正交分解成：Fx=maxFy=mayFz=maz牛顿第三定律：两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一直线上．2．联结体所谓“联结体”就是一个系统内有若干个物体，它们的运动情况和受力情况都一种关系联系起来．若联结体内（即系统内）各物体只有相同的加速度时应先把这联结体当成一个整体（看成一个质点）．分析这类问题的一般方法是：（l）将系统中的每个物体隔离开来分别进行受力分析；（2）对每个物体用牛顿第二、三定律列方程，有的物体可以列互为正交方向上的两个方程；（3）根据具体情况确定各物体的运动特征量般（如速度、加速度）之间的关系．在解决联结体问题时确定齐物体加速度之间的关系是｝分币要的．第2页共26页3．非惯性系牛顿第一、二定律只适用十某一类参考系、这类参考系叫惯性系．比如地面就是一个相当好的惯性系，太阳是一个非常好的惯性系，一般我们认为，相对地面没有加速度的参考系，都可视为惯性系，相对地而有加速度的参考系，都可视为非惯性系．在非惯性系中，为了使牛顿第一、二定律在形式上仍然成立，我们可以给每个物体加上一个惯性力F0．F0的大小为ma0（m为研究的物体，a0为所选参考系相对地而的加速度），F0的方向和a0的方向相反．如果取一个转动的参考系，则要加上惯性离心力F0=mω2R。惯性力是一个假想的力，完全是为了使牛顿第一、二定律在非惯性系中也能成立而人为地想象出来的，实际上并不存在．惯性力不存在施力物体，也没有反作用力．惯性力从其性质上来说，也是一个保守力，所以在有些场合也会讨论惯性力的势能．3．质心运动问题质心是物体质量中心，由几个质点组成的质点系，若这几个质点所在的位置分别是(x1，y1，z1）、(x2，y2，z2)……则系统的质心位置为iiiimxxmiiiimyymiiiimzzm二、方法演练类型一、牛顿第二定律是动力学的核心，特别是质点系的牛顿第二定律解题时应用起来特别灵活多变，是解决复杂的动力学问题的主要手段。例1．如图3—1所示，车厢B底面放一个物体A，已知它们的质量mA=20kg，mB=30kg，在水平力F＝120N作用下，B由静止开始运动，2s内移动5m，不计地面摩擦，求A在B内移动的距离．分析和解：本题中由于不计地面摩擦，系统的和外力就为F，而在和外力作用下，系统内A、B都要产生加速度，故须应用质点系的牛顿第二定律求解。对整体（质点系）利用牛顿第二定律有第3页共26页F=mAaA+mBaB，即120=20aA+30aB又212BSat，5/2Bams，9/4Aams214.52AASatm即54.50.5ABSmmm例2．一绳跨过装在天花板上的滑轮，绳的一端吊一质量为M的物体，另一端挂一载人梯子，人的质量为m，系统处于平衡状态，不计摩擦及滑轮与绳的质量，如图3—2所示，要使天花板受力为零，试求人应该如何运动．分析和解：本题中要天花板受力为零，意味着质点系（整体）质心的加速度为g，竖直向下，处于完全失重状态．因运动前系统处于平衡状态，所以梯子的质量为M-m。由题意知，M向下的加速度为g，而梯子与人的质心向下的加速度也应为g，才能使天花板受力为零．利用质点系的牛顿第二定律有1ciiiMama()MgMmgma（取向下为正）(21)Magm（方向向下）类型二、联结体的动力学问题是一类常见的问题，解题时除应考虑用整体法和隔离法外，还要特别注意是杆系、绳系速度、加速度的关联的类别以及物系内各物体之间是否存在相对速度和相对加速度．例3．绳EF一端系于轻杆AB中间，如图3—3所示，一端固定在天花板上，轻杆两端各有一质量为m的小球，并通过AC、BC两绳系住一质量为M的小球C，不计绳的质量及绳的体积且AC=BC=AB，求剪断BC绳的瞬间，EF绳的张力T。分析和解：本题首先是一个联结体的问题，物体系通过杆、绳连结，受力比较复杂，但同时还是一个力的瞬时性第4页共26页问题，连结的杆绳一发生状态或连结情况的变化，所受力立即发生变化，物系的加速度也将发生瞬时性变化。设正三角形ABC边长为l，剪断BC绳瞬间AC绳张力为T。如图3—4，A球的加速度可分解为水平方向xa及竖直方向ya．注意到剪断BC瞬间TEF方向竖直向上。2cosxmaT22()sin22llmT2yla由以上三式得：cos2xTam，sin2yTam对于C，设其沿绳方向加速度为0a，则有0sinMaMgT，0sinTagM又剪断BC后，AC绳仍绷紧，且A、C无相对转动，所以A、C在沿绳方向加速度相等，即0cossinxyaaa将0a、xa、ya，值代人上式，解得2sin2mMTgmM对于TEF，考虑AB杆，注意到其在EF绳限制下质心无竖直方向加速度．(87)2sin2(2)EFmmMTmgTgmM例4．如图3—5所示，装有滑轮的桌子，质量m1=15kg。桌子可以无摩擦地沿水平面上滑动，桌子上放质量m2=10kg的重物A，重物A与桌面间的摩擦因数μ=0.6，当绕过滑轮的绳受到F=78.4N的水平拉力时，求：（1）桌的加速度；（2）当拉力沿竖直方向时，桌的加速度．分析和解：本题为联结体问题，但本题的关键是重物与桌面间是否发生相对运动，解题时要先通过计算作出判断，才能最后确定列式解题的依据。（1）当拉力为水平方向时，桌子在水平方向受到三个力作用：上滑轮的绳子拉力F，水平向左；下滑轮绳子的拉力F，水平向右；重物对桌的摩擦力f，水平向第5页共26页右．由牛顿第二定律，得11FfFma式中1a为桌子加速度．重物A水平方向受到的力有：绳的拉力F，摩擦力f。当max2ffmg时，重物开始沿桌面运动，这时，对重物A，有max21Ffma；由桌子受力情况，可求出max11fam，于是得maxmax21fFfmm进一步求出221(1)mFmgm。代人有关数字，得F98N而实际作用绳上的力仅为78.4N。因此，重物并未沿桌面滑动，重物随桌子一起以同一加速度运动．21278.43.14/1510Famsmm(2)当拉力沿竖直向上方向时，只有在重物沿桌面滑动情况下，桌子才可能沿水平地面运动（当重物静止时，在水平方向它所受的上滑轮绳子拉力与静摩擦力大小相等、方向相反．这样一来，也使桌子所受绳子拉力与静摩擦力恰好平衡）．为此，作用于绳的拉力不得小于重物与桌面间的最大静摩擦力．在所讨论的情况下满足这一条件．桌子水平方向受两个力作用：上滑轮绳子拉力，方向向左；重物对桌面的摩擦力，方向向右．因为maxFf，所以桌子将向左作加速运动．2max2111.31/FfFmgamsmm类型三、非惯性系的问题在正常的高中物理学习中是不牵涉到的内容，但在解题时利用了参考系的变换，在选择的参考系为非惯性参考系时注意引如惯性力可以是问题得到最大程度的简化。第6页共26页例5．如图3—6所示，质点A沿半圆弧槽B由静止开始下滑，已知B的质量为M，质点的质量为m，槽的半径为R且光滑，而槽与地面的接触面也是光滑的，试求质点A下滑到任意位置θ角时B对A的作用力．分析和解：由于槽与地面的接触面是光滑的，质点A沿半圆弧槽B下滑时槽B必然后退，如果要求的是状态量，可以考虑动量和能量的观点来解题，但如果要求的是瞬时量，则常规的解题方法会有很大的困难，利用了参考系的变换，在以B为参考系时注意引入惯性力．是解决这类问题的基本方法。设M的加速度向左，大小为a，有cosFMa①对m以B为参考系，其相对B的速度为u，且必定与圆弧相切．2cossinuFmamgmR②根据动量与能量守恒，并设M的速度为，同时注意m的速度u应转换为对地速度．(sin)Mmu③(水平方向动量守恒）22211sin(2sin)22mgRMmuu④由以上①②③④式可解得222sin(32cos)(cos)MmgMmmFMm例6．半径为r=9.81cm的空心球形器皿，内部有一个不大的物体，围绕穿过对称中心的竖直轴旋转．在角速度ω1=5rad/s时，物体在平衡状态对器壁的压力为N1=10-2N.在平衡状态，物体在什么角速度ω2下对器壁的压力N2＝4×10-2N?物体和器壁内表面的摩擦可忽略不计．重力加速度为g=9．81m/s2．分析和解：此处的平衡状态是对旋转参考系（非惯性系）而言的．图3—7上示出了钵和位于A点的物体．0点表示球面的中心，所研讨的钵就是这个球的一部分．转动轴是用过0点的竖直断续直线表示的，研究平衡第7页共26页状态，较为方便的是利用半径OA和竖直方向的夹角．显然，02。在旋转的非惯性系中，这个不大的物体处于平衡状态，作用在该物体上的重力（mg）和惯性离心力（2sinmr）的合力，必须和钵的表面垂直，或者说必须沿半径OA的方向作用．假若我们用ω表示钵与物体的共同角速度，则在平衡状态，从图3一7可知22sinsintanrrrmrrmgg由上式得21sin()0cosrrrg式中r为平衡状态角的值．从此式可知有两种情况：1）sin0r，即0r．这个解是始终存在的．物体那时停止钵底上．它对钵壁的压力N=mg．2）2cosrgr，即2arccosrgr这个解只有在21gr，或者说grgr时才可能存在．ωgr的数值可以算出，为10rad/s.题中给出的ω1＜ωgr．这意味着物体开始停在钵底．因此它的重量（力）为N1，质量为1Nmg。现在来计算ω2．在ω2时，对器壁的压力为N2．很明显，ω2必须大于ωgr，否则N2就必须等于N1了．而根据题意，存在不等式N2＞N1．假若物体在A点（sinαA≠0）处于平衡状态，则222sinsinAAmN式中1Nmg，由此得2221120/grNNgradsNrN第8页共26页三、小试身手1．如图3—8所示，滑轮左右两边原挂有质量均为M的物块，在右物块上又放有质量为m的小物块，忽略滑轮和绳的质量及滑轮轴上的摩擦，求左物块上升的加速度，m、M之间的作用力及支点A所受的力．2．如图3—9所示，弹簧S1的上端固定在天花板上，下端连一小球A，球A与球B之间用线相连.球B与球C之间用弹簧S2相连.A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，弹簧与线的质量均可不计.开始时它们都处在静止状态.现将A、B间的线突然剪断，求线刚剪断时A、B、C的加速度.第9页共26页3．如图3—10所示的轻滑轮跨有一轻绳，绳的两端连接着质量分别为1kg和2kg的物体A和B,现以50N的恒力F向上提起滑轮的轴，A和B的加速度各为多少？不计滑轮质量及滑轮与绳间摩擦。4．质量为M的长平板以速度0在水平面上作直线运动，长板与地面间的动摩擦因数为μ2，现将速度为零、质量为m的木块放在长平板上，如图3—11所示．设木块与板之间的滑动摩擦因数为μ1，试问木块在长平板上滑行多长的距离才能与板取得相同的速度？5．两个相同的条形磁铁，放在平板AB上，磁铁的N、S极如图3—12所示.开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动.(i)现将AB突然竖直向下平移(磁铁与平板间始终相互接触)，并使之停在A′B′处，结果发现两个条形磁铁碰在一起.(ii)如果将AB从原位置突然竖直向上平移，并使之停在A″B″位置处，结果发现两条形磁铁也碰在一起.第10页共26页试定性地解释上述