点集拓扑学第5章

第一与第二可数性公理可分空间Lindelöff空间§5.1第一与第二可数性公理可数基可数邻域基拓扑空间在某一点处的一个邻域基是一个可数族，则称它是可数邻域基.拓扑空间的一个基,如果是一个可数族,则称这个基是一个可数基.定义5.1.1一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为A2空间．定义5.1.2一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为A1空间．不满足第一可数性公理的空间的例子设X是包含着不可数多个点的可数补空间,则X在它的任何一点处都没有可数邻域基．定理5.1.3每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理．反之不成立.定理5.1.4设X和Y是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射.如果X满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)，则Y也满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)．:fXY继续可遗传性质如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个子空间也都具有这个性质对开[闭]子空间可遗传性质例:局部连通空间的任何一个开集作为子空间都是一个局部连通空间证明：设X是一个局部连通空间，U是X的一个开集，则对任意x∈U和x在子空间U中的任意一个邻域V，V也是x在X中的一个邻域,由于X是一个局部连通空间，从而x有一个连通的邻域W,使得,从而U是一个局部连通空间.WV定理5.1.5满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间．推论5.1.7n维欧氏空间Rn的每一个子空间都满足第二可数性公理．作业:2,6§5.2可分空间定义5.2.1设X是一个拓扑空间，．如果，则称D是X的一个稠密子集．DXDX定理5.2.1设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集.又设都是连续映射,如果,则f=g.,:fgXR||DDfgf(x)g(x)x())(V1V2fgf-1(V1)g-1(V2)UX定义5.2.2设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间．定理5.2.2每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间.继续推论5.2.3满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分的.定理5.3.2逆不成立可分性出不具有可遗传性(见例5.2.1)继续定理5.2.4每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理.推论5.2.5可分度量空间的每一个子空间都是可分空间.作业：4§5.3Lindelöff空间定义5.3.1设A是一个集族，B是一个集合．如果,则称集族是集合B的一个覆盖，并且当A是可数族或有限族时，分别称集族是集合B的—个可数覆盖或有限覆盖．AABA设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族A1也是集合B的覆盖，则称集族A1是覆盖A(关于集合B)的一个子覆盖.设X是一个拓扑空间．如果由X中开(闭)子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开(闭)覆盖．定义5.3.2设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindelöff空间．定理5.3.1任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindelöff空间．继续推论5.3.2满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindelöff空间．特别，n欧氏空间Rn的每一个子空间都是Lindelöff空间．定理5.3.1和推论5.3.2的逆命题不成立.(见例5.3.1)定理5.3.3每一个Lindelöff的度量空间都满足第二可数性公理.继续定理5.3.4Lindelöff空间的每一个闭子空间都是Lindelöff空间．继续继续注意Lindelöff空间不可以遗传(见例5.3.2）但对闭子空间可遗传两个Lindelöff空间的积空间不一定是Lindelöff空间(见习题4)作业:1