正弦定理和余弦定理资料

4-6正弦定理和余弦定理基础巩固强化1.(2011·重庆理)若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.43B．8－43C．1D.23[答案]A[解析]在△ABC中，C＝60°，∴a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab，∴(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝3ab＝4，∴ab＝43，选A.2．(文)在△ABC中，已知A＝60°，b＝43，为使此三角形只有一解，a满足的条件是()A．0a43B．a＝6C．a≥43或a＝6D．0a≤43或a＝6[答案]C[解析]∵b·sinA＝43·sin60°＝6，∴要使△ABC只有一解，应满足a＝6或a≥43.如图顶点B可以是B1、B2或B3.(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，b＝22，且三角形有两解，则角A的取值范围是()A.0，π4B.π4，π2C.π4，3π4D.π4，π3[答案]A[解析]由条件知bsinAa，即22sinA2，∴sinA22，∵ab，∴AB，∴A为锐角，∴0Aπ4.3．(2011·深圳二调)在△ABC中，已知a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°[答案]D[解析]由正弦定理得asinA＝bsinB，所以4sin30°＝43sinB，sinB＝32.又0°B180°，因此有B＝60°或B＝120°，选D.4．(文)(2011·浙江文)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()A．－12B.12C.－1D.1[答案]D[解析]由acosA＝bsinB可得，sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，所以sinAcosA＋cos2B＝1.(理)(2011·辽宁理)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba＝()A．23B．22C.3D.2[答案]D[解析]∵asinAsinB＋bcos2A＝2a，∴sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，∴sinB＝2sinA，∴b＝2a，∴ba＝2.5．(文)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若∠C＝120°，c＝2a，则()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定[答案]A[解析]∵∠C＝120°，c＝2a，c2＝a2＋b2－2abcosC∴a2－b2＝ab，又∵a0，b0，∴a－b＝aba＋b0，所以ab.(理)在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为()A．1＋3B．3＋3C.3＋33D．2＋3[答案]C[解析]12acsinB＝12，∴ac＝2，又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝3＋33.6．(文)(2011·福建六校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝42，B＝45°，面积S＝2，则b等于()A．5B.1132C.41D．25[答案]A[解析]由于S＝12acsinB＝2，c＝42，B＝45°，可解得a＝1，根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×42×22＝25，所以b＝5，故选A.(理)在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝()A.817B.1517C.1315D.1317[答案]B[解析]S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝12bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA)，16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝1517.7．(2011·福建文)若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．[答案]2[解析]由S＝12BC·ACsinC知3＝12×2×ACsin60°＝32AC，∴AC＝2，∴AB2＝22＋22－2×2×2cos60°＝4，∴AB＝2.8．(文)(2011·河南质量调研)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3，则△ABC的面积为________．[答案]2[解析]依题意得cosA＝2cos2A2－1＝35，∴sinA＝1－cos2A＝45，∵AB→·AC→＝AB·AC·cosA＝3，∴AB·AC＝5，∴△ABC的面积S＝12AB·AC·sinA＝2.(理)(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆x24＋y23＝1上，则sinA＋sinCsinB的值为________．[答案]2[解析]由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，由正弦定理得sinA＋sinCsinB＝BC＋BAAC＝2.9．(文)(2011·济南外国语学校质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则∠A的大小为________．[答案]π6[解析]∵sinB＋cosB＝2sin(B＋π4)＝2，∴sin(B＋π4)＝1，∵0Bπ，∴B＝π4，∵bsinB＝asinA，∴sinA＝asinBb＝2×222＝12，∵ab，∴AB，∴A＝π6.(理)在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．[答案]3c5[解析]边c最长时(c≥2)，cosC＝a2＋b2－c22ab＝1＋4－c22×1×20，∴c25.∴2≤c5.边b最长时(c2)，cosB＝a2＋c2－b22ac＝1＋c2－42c0，∴c23.∴3c2.综上，3c5.10．(文)(2011·沈阳模拟)△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝(2sin2(π4＋B2)，－1)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若a＝3，b＝1，求c的值．[解析](1)∵m⊥n，∴m·n＝0，∴4sinB·sin2(π4＋B2)＋cos2B－2＝0，2sinB[1－cos(π2＋B)]＋cos2B－2＝0，∴2sinB＋2sin2B＋1－2sin2B－2＝0，∴sinB＝12.∵0Bπ，∴B＝π6或56π.(2)∵a＝3b，∴此时B＝π6，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，∴c2－3c＋2＝0，∴c＝2或c＝1.(理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－3)，n＝(cos2B,2cos2B2－1)且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．[分析](1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析](1)∵m∥n，∴2sinB2cos2B2－1＝－3cos2B，∴sin2B＝－3cos2B，即tan2B＝－3，又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝2π3，∴B＝π3.(2)∵B＝π3，b＝2，∴由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac得，a2＋c2－ac－4＝0，又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，S△ABC＝12acsinB＝34ac≤3(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．[点评]本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新颖精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处命题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解.能力拓展提升11.(文)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形[答案]C[解析]因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得：a＝2b×a2＋b2－c22ab，整理得b2＝c2，∴b＝c，∴则此三角形一定是等腰三角形．[点评]也可以先由正弦定理，将a＝2bcosC化为sinA＝2sinBcosC，利用sinA＝sin(B＋C)代入展开求解．(理)(2011·郑州六校质量检测)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cbcosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形[答案]A[解析]依题意得sinCsinBcosA，sinCsinBcosA，所以sin(A＋B)sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA0，所以cosBsinA0.又sinA0，于是有cosB0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.12．(文)(2011·深圳二调)已知△ABC中，∠A＝30°，AB，BC分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于()A.32B.34C.32或3D.32或34[答案]D[解析]依题意得AB＝3，BC＝1，易判断△ABC有两解，由正弦定理得ABsinC＝BCsinA，3sinC＝1sin30°，即sinC＝32.又0°C180°，因此有C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝90°，△ABC的面积为12AB·BC＝32；当C＝120°时，B＝30°，△ABC的面积为12AB·BC·sinB＝12×3×1×sin30°＝34.综上所述，选D.(理)(2011·泉州质检)△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于()A．30°B．60°C．90°D．120°[答案]B[解析]依题意得acosC＋ccosA＝2bcosB，根据正弦定理得，sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，则sin(A＋C)＝2sinBcosB，即sinB＝2sinBcosB，又0°B180°，所以cosB＝12，所以B＝60°，选B.13．(文)(2011·四川文)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A．(0，π6]B．[π6，π)C．(0，π3]D．[π3，π)[答案]C[解析]根据正弦定理，由sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC得a2≤b2＋c2－bc，根据余弦定理cosA＝b2＋c2－a22bc≥bc2bc＝12，又0Aπ，∴0A≤π3，故选C.(理)(2011·豫南四校调研考试)若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值为()A．22B.32C.23D．32[答案]A[解析]设BC＝x，则AC＝2x，根据面积公式得S△ABC＝12×AB×BCsinB＝x1－cos2B①，根据余弦定理得cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝4＋x2－2x24x＝4－x24x②，将②代入①得，S△ABC＝x1－4－x24x2＝128－x2－12216，由三角形的三边关系得2x＋x2x＋22x，解得22－2x22＋2，故当x＝23时，S△ABC取得最大值22，故选A.14．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．①a＝1，b＝2，B＝45°；②a＝5，b＝15，A＝30°；③a＝6，b＝20，A＝30°；④a＝5，B＝60°，C＝45°.[答案]①④[解析]①一解，asinB＝2212，有一解．②两解，b·sinA＝152515，有两解；③无解，b·sinA＝106，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．15．(文)(