5.三重积分(2012)

三重积分I三重积分的概念与性质II三重积分的计算法二、柱面坐标下三重积分的计算法三、球面坐标下三重积分的计算法III重积分的应用一、直角坐标下三重积分的计算法I、三重积分的概念1．三重积分的定义niiiiivfdvzyxf10),,(lim),,(如果f(x，y，z)表示某物体在点(x，y，z)处的体密度，Ω是该物体所占的空间闭区域，f(x，y,z)在Ω上连续，则dvzyxfM),,(物体的质量2．物理意义3．几何意义的体积dxdydzV4．性质同二重积分补充：利用对称性化简三重积分计算1,zox、若空间区域是关于面是对称的则1(,,)02(,,)fxyzdvfyfxyzdvfy关于是奇函数关于是偶函数1其中是的右半部分2,yoz、若空间区域是关于面是对称的则1(,,)02(,,)fxyzdvfxfxyzdvfx关于是奇函数关于是偶函数1其中是的前半部分3,xoy、若空间区域是关于面是对称的则1(,,)02(,,)fxyzdvfzfxyzdvfz关于是奇函数关于是偶函数1其中是的上半部分4、若Ω关于变量x，y，z具有轮换对称性，则有dvyxzfdvxzyfdvzyxf),,(),,(),,(dVyxzfxzyfzyxf)],,(),,(),,([31dVzyxdVzdVydVxRzyx][312222222222所围，则为球面若在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分Ω，则dv=dxdydz,),,(dxdydzzyxf1．直角坐标系中的体积元素因此在直角坐标系中，三重积分记作II、三重积分的计算一、用直角坐标系计算三重积分Ω为母线平行于z轴的曲顶，曲底柱体时第一种情况：投影法(先一后二法)2、化三重积分为三次单积分xyzoD1z2z2S1S),(1yxzz),(2yxzzab)(1xyy)(2xyy),(yx如图，,Dxoy面上的投影为闭区域在闭区域),,(:),,(:2211yxzzSyxzzS,),(作直线过点Dyx穿出．穿入，从从21zz,),()(:21bxaxyyxyD若得dvzyxf),,(.),,()()(),(),(2121baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx),(),(21),,(),,(yxzyxzDdzzyxfdxdydvzyxfxyxyDyxyxzzyxz),(),,(),(:21Ω往另两个坐标面上投影的情况与此类似。21xyo1解xyzC(0,0,1)oA(1,0,0))0,21,0(Bx+2y=1,121xdxdydzxyz计算三重积分其中为三个坐标面及平面所例围成的闭区域。DxyxdxdydzxyDyxddzx)(210yxxdzxdydx2102101021010)21(xdyyxxdx1032)2(dxxxx。481为三次积分化三重积分例dvzyxf),,(2所围。1,:22zyxz解：曲面z=x2+y2与平面z=1的交线在xOy平面上的投影曲线为在x2+y2=1，Ω在xOy平面上的投影区域为Dxy:x2+y2≤1。xyDyxzyx),(,1:221yxzO而Dxy可用不等式组11,1122xxyx于是111112222),,(),,(yxxxdzzyxfdydxdvzyxf第二种情况:截面法(先二后一法)设区域夹在平面z=c1，z=c2(c1c2)之间},),(),,{(21czcDyxzyxz1c2czDccdxdyzyxfdzdvzyxf)3(),,(),,(21zyxo用竖坐标为z(c1zc2)的平面截所得截面为Dz或D(z)，即zDzyxozDzDccdxdyzyxfdzdvzyxf),,(),,(21特别当f(x,y,z)只是z的函数：f(x,y,z)=(z),上式的适用范围：有)()()(),,(zAzdxdyzdxdyzyxfzzDD其中A(z)是Dz的面积，于是dzzAzdvzyxfdc)()(),,(,3dxdydzz计算例所围其中1,:22zyxz解用截面法。222zy:xDzzozDxyzo1zDz,,zxoyD用平行于面的平面去截空间区域得平面闭区域zdvzDzddz10zDdzdz10102)(dzzz103dzz1044z。41:22zyx解0sin4xdvydvzxyI)sin(4zdvy4sinx关于x是奇函数xyzoRzzyx2:222关于yoz平面对称，RzzyxdxdydzzxyI2:,)sin(42224计算例用截面法。ozD2222:zRzyxDzRzzyx2:222zDzxyzozdvRdzzRz2032)2(zDRdxdyzdz2020()RzzdzRzRz2043)432(。434R二、利用柱面坐标计算三重积分1．柱面坐标,0r,20.z的柱面坐标．就叫点个数，则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设MzrrPxoyMzyxM,,,),,(规定：xyzorzxyM(x,y,z)),,(zrM(,,0)Pr.,sin,coszzryrx柱面坐标与直角坐标的关系为为常数r为常数z为常数如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．),,(zyxM),(rPrzxyzodxdydzzyxf),,(.),sin,cos(dzrdrdzrrfdrxyzodzdrrd如图，柱面坐标系中的体积元素为,dzrdrddv3．柱面坐标系中的三重积分的形式2．柱面坐标系中的体积元素4．计算方法：定限方法同直角坐标，把边界化成柱面坐标方程。一般是化为先z，再r，最后θ的三次积分例1计算zdxdydzI，其中是球面4222zyx与抛物面zyx322所围的立体.解由zzryrxsincos,交线的投影为:xyDyxyxzyx),.(43:22223:22yxDxy.20,3043:22rrzr，23242030rrzdzrdrdI.41322222.()0.xydxdydzxyzzaa例2计算，其中是锥面与平面（）所围成的立体解用柱面坐标。xyzo122:.(,)xyxyzaxyDdxdydzyxI)(22aradzrrdrd2020adrrar03)(2]54[254aaa.105a.20,0,:arazr三、利用球面坐标计算三重积分1．球面坐标rOMr0||0),,(^KOM（1）M(x，y，z)(r，,θ)θ：M→P，x轴正向按逆时针方向到OP的转角，0≤θ≤2π。r，,θ叫点M的球面坐标。Pxyzo),,(zyxMrzyxA.cos,sinsin,cossinrzryrx（2）球面坐标与直角坐标的关系为为常数r为常数为常数（3）如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．2．球面坐标下三重积分的形式（1）球面坐标下的体积元素drxyzodrdsinrrdddsinr,sin2ddrdrdvdxdydzzyxf),,(.sin)cos,sinsin,cossin(2ddrdrrrrf（2）三重积分的球面坐标形式（3）计算方法：计算一般是化为先r，再，最后θ的三次积分为：积分，其中化为球面坐标下的三次将例dVzyxf),,(120,20cos20:Rrxyz2RoR2222)(:)1(RRzyxdVzyxf),,(cos2022020sin),,(RdrrrFddxyzo20400:RrdVzyxf),,(RdrrrFdd024020sin),,(222)2(yxRz所围与22yxz注Ω以下区域时用球面坐标2222:)1RzyxRfdrrdd02020sinfdxdydz0,:)22222zRzyxRfdrrdd022020sinfdxdydz222:)3yxRz所围与22yxzRfdrrdd024020sinfdxdydz2222)(:)4RRzyx所围与222222:)5yxzRzzyxAzyxa2220:)6fdxdydzcos2022020sinRfdrrddfdxdydzcos2024020sinRfdrrddAafdrrdd2020sinfdxdydz,)(2222dxdydzzyx计算例dxdydzzyx)(222解54drrrdd2102020sin1:222zyxdvzyx222cos222000sinddrrdr2044cossin2dzzyxdvzyx222222:,3例:0cos,0,022r解xyz1o10zdv计算例.422222,1:yxzzyx8cossin1024020drrrddzdv解：（2）被积函数形如f(x2+y2+z2)f(z),Ω为球形域，球面与圆锥面所围时，用球面坐标计算。（1）Ω为旋转体或Ω的边界面中含圆柱面、圆锥面、球面时，或者投影区域为圆形域时，被积函数形如一般用柱面坐标。、)(),(arctan)(22zfxyfyxf注：坐标系的选择III、重积分应用通过三重积分可求空间区域Ω的体积，物体的质量通过二重积分可求曲顶柱体的体积、平面薄片的质量、平面区域的面积DdyxfV),(Ddyxm),(DdA1.空间区域Ω的体积,dxdydzV如果(x，y，z)表示某物体在点(x，y，z)处的体密度，Ω是该物体所占的空间闭区域，(x，y，z)在Ω上连续.dvzyxM),,(2.物体的质量一、空间曲面的面积dxdyAxyDyzxz22)()(11．设曲面的方程为：),(yxfz,Dxoy面上的投影区域为在曲面面积公式为：例1求球面2222azyx，含在圆柱体axyx22内部的那部分面积.cosaryxo2aa1,4()AA由对称性第Ⅰ卦限内的部分222yxayzy222xxzaxy2222222,xyzazaxy又yaxozD解dzzdAyx221dxdyyxaa222DdAA4cos022204ardrraad20cos022)(4draaa。)12(42a