2013高考数学(江苏专版)二轮专题课件：第一部分 专题7 三角恒等变换与解三角形

第一部分专题7小题基础练清增分考点讲透配套专题检测备考方向锁定返回返回返回回顾2008～2012年的考题，在填空题中主要考查了三角公式的运用、正、余弦定理的运用.在解答题中有2008、2011年主要考查了三角化简求值，2009年考查了向量与三角化简的综合问题，2012年考查角的恒等变换及正、余弦定理.在近五年的应用题考查中，有两年考查了与三角函数有关的应用题.在近四年的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，但作为三角化简的基本功还是要掌握的.返回预测在2013年的高考题中：(1)填空题依然是考查简单的三角函数化简、解三角形，随着题目设置的顺序，难度不一.(2)在解答题中，三角函数的化简、三角函数的性质与解三角形和平面向量的交汇问题仍是考查的重点.返回返回1．(2012·南京名校4月阶段性考试)若sinα＋cosαsinα－cosα＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析：由题意得tanα＋1tanα－1＝3.所以tanα＝2.又tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.所以(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tanβ－α－tanα1＋tanβ－αtanα＝43.答案：43返回2.1＋cos20°2sin20°－sin10°(tan－15°－tan5°)＝________.解析：原式＝2cos210°4sin10°cos10°－sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin30°－10°2sin10°＝cos10°－2sin30°cos10°＋2cos30°sin10°2sin10°＝cos30°＝32.答案：32返回3．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcosA的值等于________，AC的取值范围为________．解析：设A＝θ，则B＝2θ.由正弦定理得ACsin2θ＝BCsinθ，∴AC2cosθ＝1⇒ACcosθ＝2.由锐角△ABC得0°2θ90°⇒0°θ45°，又0°180°－3θ90°⇒30°θ60°，故30°θ45°⇒22cosθ32，∴AC＝2cosθ∈(2，3)．答案：2(2，3)返回4．(2012·西安名校三检)在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(3，S)，满足p∥q，则∠C＝________.解析：由p∥q⇒4S－3(a2＋b2－c2)＝0，又4S＝4×12absin∠C＝3(a2＋b2－c2)，可得sin∠C＝3×a2＋b2－c22ab＝3cos∠C，即tan∠C＝3，故∠C＝π3.答案：π3返回5．在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A＋C)＝－43，sinB＝45，则cos2(B＋C)＝________.解析：∵A为最小角，∴2A＋C＝A＋A＋CA＋B＋C＝180°.∵cos(2A＋C)＝－45，∴sin(2A＋C)＝35.∵C为最大角，∴B为锐角．又sinB＝45，故cosB＝35.返回即sin(A＋C)＝45，cos(A＋C)＝－35.∵cos(B＋C)＝－cosA＝－cos[(2A＋C)－(A＋C)]＝－2425，∴cos2(B＋C)＝2cos2(B＋C)－1＝527625.答案：527625返回返回[典例1]已知π2βα3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35.(1)用α＋β，α－β表示2α；(2)求sin2α，cos2α的值．[解](1)2α＝(α－β)＋(α＋β)．(2)因为π2βα3π4，所以0α－βπ4，πα＋β3π2.又因为cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，返回所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45.所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×－45＋1213×－35＝－5665，cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝1213×－45－513×－35＝－3365.返回三角函数式的化简、求值，常从角的差异入手，寻求条件与结论之间的关系，通过三角恒等变换消除差异，使问题获解．[演练1]已知sinx＋π6＝14，则sin56π－x＋sin211π6－x的值为________．解析：sin56π－x＋sin211π6－x＝sinπ－π6＋x＋sin22π－x＋π6＝sinx＋π6＋sin2x＋π6＝516.答案：516返回[典例2](2012·南通第一次调研)在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若2sinAcosC＝sinB，求ac的值；(2)若sin(2A＋B)＝3sinB，求tanAtanC的值．[解](1)由正弦定理得sinAsinB＝ab.从而2sinAcosC＝sinB可化为2acosC＝b.由余弦定理得2a×a2＋b2－c22ab＝b.整理得a＝c，即ac＝1.返回(2)在斜三角形ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin(2A＋B)＝3sinB可化为sin[π＋(A－C)]＝3sin[π－(A＋C)]，即－sin(A－C)＝3sin(A＋C)．故－sinAcosC＋cosAsinC＝3(sinAcosC＋cosAsinC)．整理得4sinAcosC＝－2cosAsinC，因为△ABC是斜三角形，所以cosAcosC≠0，所以tanAtanC＝－12.返回解三角形常用的工具是正弦定理和余弦定理，要熟悉它们的使用的条件，合理选用．解三角形常与三角恒等变换、三角求值综合考查，要注意三角形中角的限制条件．[演练2]在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1＋tanAtanB＝2cb，则角A的大小为________．解析：由1＋tanAtanB＝2cb，得sinA＋BcosAsinB＝2sinCsinB，即cosA＝12，故A＝π3.答案：π3返回[典例3](2012·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是________．①若abc2，则Cπ3；②若a＋b2c，则Cπ3；③若a3＋b3＝c3，则Cπ2；④若(a＋b)c2ab，则Cπ2；⑤若(a2＋b2)c22a2b2，则Cπ3.返回[解析]①abc2⇒cosC＝a2＋b2－c22ab2ab－ab2ab＝12⇒Cπ3；②a＋b2c⇒cosC＝a2＋b2－c22ab4a2＋b2－a＋b28ab≥12⇒Cπ3；③当C≥π2时，c2≥a2＋b2⇒c3≥a2c＋b2ca3＋b3与a3＋b3＝c3矛盾；④取a＝b＝2，c＝1满足(a＋b)c2ab得Cπ2；⑤取a＝b＝2，c＝1满足(a2＋b2)c22a2b2得Cπ3.[答案]①②③返回利用正、余弦定理可实现三角形中的边角转化，常用方法是：①化边为角结合内角和定理求解；②化角为边结合勾股定理、三边关系求解．[演练3]在△ABC中，sinA＝sinB＋sinCcosB＋cosC，判断这个三角形的形状．返回解：应用正弦定理、余弦定理，可得a＝b＋cc2＋a2－b22ca＋a2＋b2－c22ab，所以b(a2－b2)＋c(a2－c2)＝bc(b＋c)．所以(b＋c)a2＝(b3＋c3)＋bc(b＋c)．所以a2＝b2－bc＋c2＋bc.所以a2＝b2＋c2.所以△ABC是直角三角形．返回[专题技法归纳](1)在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解．如角的变形：15°＝45°－30°＝60°－45°＝30°2，α＝(α＋β)－β＝α2＋β－β－α2，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝π4＋α－π4－α.返回特别地，π4＋α与π4－α为互余角，它们之间可以互相转化，在三角变形中使用频率高．(2)两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．返回点击上图进入配套专题检测