状态空间描述法

第九章状态空间描述法9.1线性系统的状态空间描述9.2状态方程求解9.3可控性与可观测性9.4状态反馈与状态观测器End9.1线性系统的状态空间描述法1．控制系统的两种基本描述方法：输入—输出描述法——经典控制理论状态空间描述法——现代控制理论2．经典控制理论的特点：(1)优点：对单入—单出系统的分析和综合特别有效。(2)缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入—单出系统。3.现代控制理论(1)适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。(2)可处理时变、非线性、多输入—多输出问题。(3)应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控制……9.29.39.4一、问题的提出1.先看一个例子：例9.1试建立图示电路的数学模型。RLCi(t)ur(t)uc(t))()()()(tutRitudttdiLrcdttduCtic)()()(1)(1)()(1)(tuLtiLRuLdttditiCdttdurcc二.状态和状态空间2.状态与状态变量的定义在已知ur(t)的情况下，只要知道uc(t)和i(t)的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故uc(t)和i(t)称为“状态变量”。记控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组，该组中的每个变量称为状态变量。))()()(),()(21、及ixdttdxtitxtutxiic)(10)()(110)()(2121tuLtxtxLRLCtxtxr则有如上例中,为系统的状态，为状态变量。txtxtx21)2,1(,itxi3.状态向量4.状态空间:定义:所有状态构成的一个实数域上的(线性)向量空间称为状态空间。5.方程:状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系表达式称为状态方程(见上例);系统输出量y(t)与状态变量、输入量的关系的表达式称为输出方程。三.状态变量的选取1.状态变量的选取是非唯一的。2.选取方法（1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。（2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流i、电容电压uc、质量m的速度v等。例9.2图示弹簧——质量——阻尼器系统，外作用力u(t)为该系统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该系统的状态方程和输出方程。kmu(t)y(t)ftutKydttdyfdttydm2tytxtytx21、txx21tumtxmftxmKtumtyftkymtyx111212txty1例9.3已知系统微分方程组为dtiiciRur)(121111dticiRdtiic22222111)(1rcudticu221其中，ur为输入，uc为输出，R1、C1、R2、C2为常数。试列写系统状态方程和输出方程。解：dtixdtix2211,rcuxcu221uRxxCRCRCRCRCRxx0/1/1/1/1/1/1121221212111121utxtxCy212/1022222111)(1xcxRxxc)(121111xxcxRur选写成向量—矩阵形式：dtiiciRur)(121111dticiRdtiic22222111)(1rcudticu221ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111四.状态空间表达式1.单输入单输出线性定常连续系统BuAxxduxcxcxcynn2211DuCxy2.一般线性系统状态空间表达式（p输入q输出）utDxtCyutBxtAxDuCxyBuAxx3.线性定常系统状态空间表达式∫（t域）（ω域）s1uxyB∫CDAb)结构图x系统A输入u输出y状态Xa)结构关系图DBC五.线性定常系统状态空间表达式的建立1.方法:机理分析法、实验法2.线性定常单变量系统(单输入—单输出系统)(1)由微分方程建立ubububyayayayaymmnnnnn0111101122111121,,,nnyxyxyx①在输入量中不含有导数项时：ubxaxaxaxxxxxxxnnnnn01211013221则例9.4已知系统微分方程为uyyyy323列写系统的状态空间表达式。yxyxyx321,,写成向量---矩阵形式(或系统动态结构图):解：选②输入量中含有导数项时：ubxxxxaaaaxxxxnnnnn01211110121000100010010nxxx21001y01110111)()()(asasasbsbsbsbsusysGnnnnnnn0122110122111)()()()()()()(,0).bsbsbsbszsyasasasassuszsuszszsysDsNsGbAnnnnnnnnnnzbzbzbzbyuzazazazaznnnnnnnnn012211012211)(①可控规范型实现(2)由传递函数建立——即实现uxxxxaaaaxxxxnnnnn10001000100101211110121nnxxxbbb21110y01110111)()()(asasasbsbsbsbsusysGnnnnnnnsusDsNsubsynB）bn≠00111012211asasasfsfsfsfbnnnnnnnnsDsNbnnnnnnnnnbabfbabf222111,nnbabfbabf000111,例9.5已知系统的传递函数为8147158232ssssssG试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。uxxxxxx10071481000103213213211815xxxy解:由bn=b3=0,对照标准型,可得实现为例9.6已知系统的传递函数为814715882323sssssssG试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。8147761814715882322323ssssssssssssGuxxxxxx1007148100010321321uxxxy321167解:由bn=b3≠0,对照标准型例9.7已知系统的传递函数为8147158232ssssssG试求其能观测规范型实现，并画出系统状态图。与能控规范型关系：A*=AT，B*=CT，C*=BT②能观测规范型实现niiinnscscscscsusysG12211niiixcsy1则sussxii1取uxxxxxxnnn111000000212121nnxxxccc2121y③对角线规范实现结构图的对角线规范型实现，并画出系统状态图。8147158232ssssssG例9.8求+nx1xx1y(t)u(t)∫λ1c1x2∫λ2c2xn∫λncn++2x解：则对角线规范型实现为416121231138421158)(2sssssssssG321612338xxxyuxxxxxx111400020001321321nnscscscscscsG44113211231111312112xxxuxx13113uxx444uxxnnn1211111xxx则)(1)(113sussx令)(1)(1)(1312112sxssussx)(1)(1)(1213111sxssussx④约当规范型实现----特征方程有重根时uxxxxxxxxxxnnn1110000000000000000100001413121141114131211141312114131211nnxxxxxcccccyxnx4x11x12x13y(t)u(t)+++++∫λ1∫λ4∫λn∫λ1∫λ1c11c12c13c4cn11x12x13x4xnx当G(s)有重极点时，设-pi中有k重极点)()()()()()()()()(11nkkpspspssNsDsNsGsusynnkkkkkpscpscpscpscpsc11111211)()(kjsGpsdsdjckjjpsjj,,,)()()!1(1lim111nkisGpscipsii,,,)()(lim)()()(21sGsGsG1112111)()()(pscpscpscsGkkkuxxxxxppppppxxxxxnkknknkk