光纤光学2.3-2.4

江汉大学1第2章光纤光学的基本方程基本问题1.光纤模式的激励2.光纤中的模式分布3.模式的传播速度4.模式沿光纤横截面场分布5.光信号的传输损耗6.光信号的畸变7.模式的偏振特性8.模式的耦合江汉大学2描述光纤传输原理的两种方法描述光纤传输原理有两种方法：（1）几何光学射线法几何光学的方法比较直观，容易理解，但不十分严格。（2）解波动方程法比较抽象，数学推导和演算复杂。不管是射线方程还是波动方程，数学推演都比较复杂，我们只选取其中主要部分和有用的结果。江汉大学3基本思路麦克斯韦方程波动方程亥母霍兹方程射线方程折射率分布边界条件波导场方程光线轨迹本征解本征值传输特性分析第2章2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程江汉大学4矢量波方程222222tHHHtEEE222222tHHtEE标量波方程0矢量波方程第2章2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程江汉大学52.时、空分离tiezyxΨtzyxΦ,,,,,0,,,,22zyxΨkzyxΨ0nkk前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数令亥姆霍兹方程0,,,,0,,,,2222zyxHkzyxHzyxEkzyxE得第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学62.2程函方程与射线方程zyxQikezyxΨzyxΨ,,00,,,,0202200020220ΨQΨQQikΨQQkkk00,0kzyxnkkQ,,22022程函方程为求光波在光纤中传播的路径，需利用程函方程推导光线的微分方程，即光线方程（射线方程）。第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学7dsrdrndsdrndsddsdQQdsdˆ射线方程ˆnQnQˆˆABOrdrrdsdsrddsrdˆˆrdrndsrdrndsd光线方程第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学8射线方程的物理意义物理意义：将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式：是光线切向斜率,对于均匀波导，n为常数,光线以直线形式传播;对于渐变波导,n是r的函数,则为一变量,这表明光线将发生弯曲。可以证明,光线总是向折射率高的区域弯曲。)()(rndzrdndzd)()(rndSrdndSddSrddSrd第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学9典型光线传播轨迹第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学10程函方程的物理意义程函(Eikonal)方程是描述光线相位特性的方程，即光程的方程。光程梯度的绝对值与介质的折射率相等。利用光线描述波印亭矢量或光能流方向的方法是几何光学的方法，它是波动光学在波长趋于零时的极限。程函方程可由费马原理导出。第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学11kaˆOrdrrdsrdP1．费马（Fermat）原理费马原理是几何光学的基本原理，它可以用一句话来表述，即光总是沿最短光程的路径传播。rdadskˆrdarndsrnlkppˆ0pdsrn0费马原理的变分表达式第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学122．程函方程即0ˆrdarnkkaˆOrdrrdsrdP设光线从a点传到b点有多种路径，pdsrn0可写成021dsrndsrndsrnbapba2Sab1S则第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学13等于常数的曲面总是与射线方向垂直，即该曲面相当于非均匀媒质中光的波阵面或等相面。微分形式0ˆkarn因为，所以可以引入一个标量函数，把上式写成0rrnarkˆrr此式表示可称为相位函数。zyxnkkQ,,22022第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学14dsrdarkˆrnrdsd根据梯度的定义，，这是波阵面运动方程，称为程函方程。第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学153．几何光学与波动光学的关系02202ErnkE在无界媒质中的解为rikrEEexp0将其代回波动方程当波长趋于零时，根据波动方程可导出程函方程，从而证明几何光学是波动光学在波长趋于零时的极限。波动方程第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学160202200022rErrErErikrErrrnk0krnarkˆ当时，上式右边第一项远大于其余各项，故可以仅保留第一项，则有第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学174．电磁场的近似规律trkitrkierHtrHerEtrE0000,,tierikrHerHrHrikrEerErEtrkitrki000000expexp00略去随时间变化的项，上式变为主要讨论光线相位的变化情况。设正向传播的光波表达式为第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学18在各向同性媒质中有srnrd光波所处的媒质为一般媒质，既可以是各向异性，又可以是不均匀。rikrErikrErikrikrErErikrikrErE00000000000expexpexpexpexp第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学1900rk0当时，单位长度上的相移数值很大，上式右方的两项相比较，第二项可略去，这就是几何光学的近似。上式成为rikrErikrE000exp把上式代入麦克斯韦方程组DBtBEtDjH0itrHrErk000rErHrk000第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学20均匀媒质中的平面波000000expexpEHkHEkrkiHrHrkiErErkrkrkrk00或0rk000rkrk本地平面波与平面波一样，传输时是无旋的。光在各向异性不均匀媒质中的程函方程光纤理论中亦称为色散方程几何光学中的基本方程第2章2.2程函方程与射线方程江汉大学21rrzrkyrkxrk2202020各向同性的煤质rnr在媒质中的每一点，本地平面波的最大相位变化与该点的折射率成正比。说明：江汉大学22用波动理论研究光纤传输特性的方法和步骤：（1）由麦克斯韦方程组推出波动方程（亥姆霍兹方程）。（2）把波动方程在圆柱坐标系中展开，并用分离变量法求解波动方程。（3）结合边界条件和波动方程的解，通过特征方程最终求出传输常数β，定出光纤中光波的传输模式。江汉大学23前提条件：光纤中传播的电磁波是“行波”，场分布沿轴向只有相位变化，没有幅度变化；得到关于E(x,y)和H(x,y)的方程式：波导场方程2.3波导场方程0),(),(),(),(22yxHyxEyxHyxEt2202222knznkcos0分离变量：空间坐标纵横分离：zieyxzyxΨ,,,2222zt拉普拉斯算子分解为横向和纵向部分无反射波第2章2.3波导场方程江汉大学24波导场方程的数学物理意义波导场方程：是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的本征方程,其本征值为c或β。当给定波导的边界条件时,求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”.江汉大学252.4模式及其基本性质每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波;每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件;模式具有确定的相速群速和横场分布.模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的,外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。第2章2.4模式及其基本性质江汉大学26横模光波在传输过程中，在光束横截面上将形成具有各种不同形式的稳定分布，这种具有稳定光强分布的电磁波，称为横模。横模（表现在光斑形状）的分布是和光波传输区域的横向（xy面）结构相关的；CylindricaltransversemodepatternsTEM(pl)第2章2.4模式及其基本性质江汉大学27modesofafiber第2章2.4模式及其基本性质江汉大学28RectangulartransversemodepatternsTEM(mn)第2章2.4模式及其基本性质江汉大学29光纤中的模式-横模第2章2.4模式及其基本性质江汉大学30纵模相长干涉条件：2nL＝Kλ纵模是与激光腔长度相关的，所以叫做“纵模”，纵模是指频率而言的。第2章2.4模式及其基本性质江汉大学31模式的场分量模式场分布由六个场分量唯一决定：ExEyEzHxHyHzErEfEzHrHfHzEz和Hz总是独立满足波导场方程场的横向分量可由纵向分量来表示0z2z2HEHEzzt第2章2.4模式及其基本性质江汉大学32直角坐标系纵横关系式xEβyHωμiEχzzx2yEβxHωμiEχzzy2xHβyEωεiHχzzx2yHβxEωεiHχzzy2纵向分量横向分量相位相差。2第2章2.4模式及其基本性质江汉大学33圆柱坐标系纵横关系式zzHrβrEωεiHχ12rEβφHrωμiEχzzr12φErβrHωμiEχzzφ12rHβφErωεiHχzzr12第2章2.4模式及其基本性质江汉大学34横纵关系式yHxHωεiExyz1yExEωμiyHxHβiHxyyxz1φHrrHrrωεiErφz111φErrErrωμφHrrHrrβiHrφφrz111111第2章2.4模式及其基本性质江汉大学35(1)横电磁模(TEM):Ez=0，Hz=0，E、H完全在横截面内，这种被称为横电磁波，简记为TEM波，这种波型不能用纵向场法求解;(2)横电模(TE):Ez=0，Hz0，传播方向只有磁场分量，电场在横截面内，称为横电波，简称为TE波或H波;(3)横磁模(TM):Ez0，Hz=0，传播方向只