第四章《 三角形 》复习总结

本章总结提升本章知识框架本章总结提升锐角直角钝角本章总结提升三内三内三锐角直角钝角本章总结提升大于小于180°本章总结提升相等相等相等相等SSSSASASAAAS整合拓展创新本章总结提升►类型之一与三角形的边有关的计算与说理例1已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是()A．5B．6C．11D．16[解析]C已知三角形两边的长分别是4和10，所以第三边x的范围是6＜x＜14，在这个范围内，只有11符合．故选C.本章总结提升[点析]已知三角形的两条边长，求第三边，根据“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，可得“三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和”，从而先求出第三边的范围，然后作出选择．本章总结提升例2王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的养兔圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍多2米．(1)请用a表示第三条边长；(2)问第一条边长可以为8米吗？为什么？请说明理由；(3)能否使得围成的养兔圈是等腰三角形？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．本章总结提升解：(1)第一条边长为a米，由题意得第二条边长为(2a＋2)米，第三条边长为30－a－(2a＋2)＝(28－3a)米．(2)不可以是8米．理由：因为a＝8时，另两边长为：2a＋2＝18(米)，28－3a＝4(米)，又因为8＋4＜18，不满足三边之间的关系，所以不能构成三角形．本章总结提升(3)能围成等腰三角形．当a＝2a＋2时，无解，不存在．当a＝28－3a时，解得a＝7，又因为7＋7＜16，不满足三边之间的关系，所以不存在；当2a＋2＝28－3a时，解得a＝265，满足三边之间的关系，所以能围成等腰三角形，三边长分别为265米，625米，625米．本章总结提升[点析]本题以构成三角形三边关系为载体，主要考查了整式计算与三角形的有关边知识的理解与运用，在探究等腰三角形的形状时要注意分类讨论，构建方程分析与解决实际问题．本章总结提升►类型二等腰三角形例3一个三角形的两条边相等，周长为18cm，三角形一边长为4cm，求其他两边长．[解析]本题分两种情况：①腰长为4cm，②底边长为4cm.解答时要注意求出的边长要符合“三角形两边之和大于第三边”．本章总结提升解：①当腰长为4cm时，则底边长为18－4×2＝10(cm)，此时，三角形三边长为4cm，4cm，10cm，因为4＋4＜10，不符合三角形三边关系，所以当三角形的腰长为4cm时不合题意，舍去；②当底边长为4cm时，则腰长为18－42＝7(cm)，此时三角形的三边长为4cm，7cm，7cm，4＋7＞7，符合三角形三边关系，所以，该三角形其他两边长为7cm，7cm.本章总结提升[点析]等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论．对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确是底或腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．本章总结提升►类型三与三角形的角有关的计算例4如图4－T－1，一个大型模板的设计要求是模板的BA边和CD边相交成50°角，DA边和CB边相交成30°角，如果通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数来判断模板是否合格，你认为当∠D与∠B的度数相差多少时，模板刚好合格？图4－T－1本章总结提升[解析]要判断∠D与∠B的度数相差多少时，模板刚好合格，可延长CD与BA，DA与CB，构造三角形，然后根据三角形内角和等于180°进行探究．解：当模板合格时，如图4－T－1，延长BA交CD的延长线于点E，则∠E＝50°；延长DA交CB的延长线于点F，则∠F＝30°，由三角形的三个内角和等于180°，得∠CBE＋∠C＋∠E＝180°，∠CDF＋∠C＋∠F＝180°，所以∠CBE＝180°－(∠E＋∠C)＝180°－(50°＋∠C)＝130°－∠C，本章总结提升∠CDF＝180°－(∠F＋∠C)＝180°－(30°＋∠C)＝150°－∠C.因为∠CDF－∠CBE＝150°－∠C－(130°－∠C)＝20°，所以∠CDF比∠CBE大20°.即∠D比∠B大20°时，模板刚好合格．本章总结提升[点析]三角形的内角和等于180°，我们可以利用这一结论解决与角度计算有关的实际问题，解决问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题．本章总结提升►类型四三角形中的重要线段例5如图4－T－2，已知∠B＝45°，∠C＝75°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．图4－T－2本章总结提升解：因为∠B＝45°，∠C＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.在Rt△ADC中，∠CAD＝90°－∠C＝90°－75°＝15°.因为AE是∠BAC的平分线，所以∠CAE＝12∠BAC＝12×60°＝30°，所以∠DAE＝30°－15°＝15°.本章总结提升[点析]本例有一定的综合性，它通过求解角的度数问题，巩固三角形重要线段的概念与三角形内角和的性质．观察图形得，∠DAE＝∠CAE－∠CAD，由三角形角平分线的概念知，∠CAE＝12∠BAC，在Rt△ADC中，∠CAD＝90°－∠C，根据已知条件，可求出∠BAC及∠CAD，使问题得以解决．本章总结提升例6如图4－T－3，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．图4－T－3[答案]2本章总结提升[解析]由D是AC的中点且S△ABC＝12，可得S△ABD＝12S△ABC＝12×12＝6；同理：EC＝2BE，即EC＝13BC，可得S△ABE＝13×12＝4，又S△ABE－S△ABF＝S△BEF，S△ABD－S△ABF＝S△ADF，等量代换可知S△ADF－S△BEF＝2.本章总结提升[点析]解决本题的关键是利用三角形的面积关系，在高不变的情况下，底为中点或三等分点构成的三角形与原三角形的面积之间的关系，就是底之间的关系，注意数形结合及转换的数学思想方法．本章总结提升►类型五尺规作图例7已知：线段a，c和∠α.求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.图4－T－4本章总结提升解：如图4－T－5所示．①先画射线BC；图4－T－5本章总结提升②以∠α的顶点为圆心，任意长为半径画孤，分别交∠α的两边于A′，C′；③以相同长度为半径，B为圆心，画弧，交BC于点F，以F为圆心，C′A′长为半径画弧，交已画弧于点E，连接EB，则∠EBF＝∠α；④在BF上取点C，使CB＝a，以B为圆心，c为半径画圆交BE的延长线于点A，连接AC.△ABC即为所求作三角形．本章总结提升►类型六全等三角形中的开放性问题例8如图4－T－6所示，AB，CD相交于点O，AB＝CD，试添加一个条件使得△AOD≌△COB，你添加的条件是__________(只需写一个)．图4－T－6[答案]OA＝OC或OB＝OD本章总结提升[解析]两个三角形全等的条件有“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”．结合题设中的已知，选择恰当的三角形全等条件是解决此类问题的关键．已知条件有AB＝CD，隐含条件有∠AOD＝∠COB，可选择“SAS”，填OA＝OC或OB＝OD.本章总结提升[点析]全等三角形是初中数学中最基础、最重要的一部分内容，本题是添加条件写结论的全开放型的创新题，这种类型的题目开放程度非常高，能激起同学们的挑战欲望和创新热情，实属好题．本章总结提升►类型七全等三角形的性质与判定的综合应用例9如图4－T－7，已知点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AC＝DF.能否由上面的已知条件说明AB∥ED？如果能，请给出说明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并说明理由．供选择的三个条件(请从其中选择一个)：①AB＝ED；②BC＝EF；③∠ACB＝∠DFE.本章总结提升图4－T－7本章总结提升[解析]由条件可知两三角形中具备了两边对应相等，可补充边借助“边边边”定理突破，也可补充这两边的夹角，借助“边角边”定理进行分析．解：由上面两条件不能说明AB∥ED.有两种添加方法．第一种：添加①AB＝ED.理由：因为FB＝CE，所以BC＝EF.本章总结提升又AC＝DF，AB＝ED，所以△ABC≌△DEF.所以∠B＝∠E，所以AB∥ED.第二种：添加③∠ACB＝∠DFE.理由：因为FB＝CE，所以BC＝EF.本章总结提升又∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF.所以∠B＝∠E，所以AB∥ED.[点析]近几年的各地中考中，全等三角形常以开放探究的形式出现，可能设置的问题结论不唯一，或条件不完备，即需要解题者依据题意确定结论或补全条件，或通过变换操作，或有关图形的动态变化导致某些图形、情境的变化，进而构建不同的数学模型，或选择不同的解题策略进行解答．本章总结提升例10如图4－T－8，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F是CD的中点，则AF⊥CD吗？试说明理由．图4－T－8本章总结提升解：连接AC，AD，由AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝DE，根据“SAS”可知△ABC≌△AED，根据全等三角形的对应边相等可知AC＝AD.由AC＝AD，CF＝DF，AF＝AF(公共边)，根据“SSS”可知△ACF≌△ADF.根据全等三角形的对应角相等可知∠AFC＝∠AFD.又由于F在直线CD上，可得∠AFC＝90°，即AF⊥CD.本章总结提升[点析]本题进行了两次三角形全等的证明，在证明线段、角等问题时往往转化为证明三角形全等，从而达到证明的目的．本章总结提升►类型八利用三角形全等测距离例11如图4－T－9所示，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，请你说明道理．图4－T－9本章总结提升[解析]因为DE∥AB，可得∠A＝∠E，∠ABC＝∠CDE.又因为BC＝CD，于是可得△ABC≌△EDC，可得AB＝DE.解：∵DE∥AB(作图)，∴∠A＝∠E，∠ABC＝∠CDE(两直线平行，内错角相等)．又∵BC＝CD(已知)，∴△ABC≌△EDC(AAS)，∴AB＝DE(全等三角形的对应边相等)．本章总结提升[点析]测量无法到达的问题时，可以将实际问题转化为数学问题来解决，本题巧妙地利用了三角形全等进行转化，从而达到测量的目的．