九年级上《21.1一元二次方程定义、配方法》练习题含答案

一元二次方程练习一：（定义、配方法）1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。举例：2230xx；20xx；22x。2.一元二次方程的一般形式：200axbxca，其中2ax叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。举例：2230xx。3.一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。例题1（1）下列方程中，是一元二次方程的有。（填序号）①25x；②30xy；③253302xx；④2(5)2xxxx；⑤23580xx；⑥204yy。（2）若关于x的方程(a－5)3ax+2x－1=0是一元二次方程，则a的值是_______。思路分析：（1）按照一元二次方程的定义进行判断：①③⑥是一元二次方程；②是二元一次方程；④经过化简二次项系数为0，不是一元二次方程；⑤分母中含有未知数，方程左边是分式而不是整式；（2）由一元二次方程的定义可得32a，所以5a；但是当5a时，原方程二次项系数为0，不是一元二次方程，故5a应舍去；当5a时，原方程为210210xx，因此5a。答案：（1）①③⑥；（2）5点评：做概念辨析题要紧扣定义，对于一元二次方程要把握这样几个关键点：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。例题2把方程x(2x－1)=5(x+3)化成一般形式是___________，其中二次项是_________，一次项系数是_________，常数项是_________。思路分析：将方程左右展开，然后移项（把所有的项都移到等号的左边），合并同类项即可：由2153xxx得22515xxx，移项得225150xxx，合并同类项得226150xx。答案：226150xx；22x；6；15点评：任何一个一元二次方程通过化简都可以得到200axbxca的形式，方程左边是含有未知数的二次式，项数有可能为三项、两项或一项，方程的右边一定为0。例题3一元二次方程01122mxxm有一个解为x=0，试求12m的值。思路分析：方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值，因此把x=0代入原方程得到一个关于m的方程，解此方程可得m的值。答案：解：把x=0代入01122mxxm得2210010mm；即210m∴1m当1m时，原方程的二次项系数为0，与题意不符，故舍去；当1m时，原方程为220xx，符合题意；故1m，此时211m。点评：利用一元二次方程的解的定义，把问题转化成关于m的方程，解得m之后要注意检验m的值是否符合题意，注意合理取舍。【综合拓展】注意对“元”和“次”的理解：“元”是指未知数，一元就是指一个未知数，二元就是指两个未知数，以此类推；“次”就是指次数，因为只有整式才有次数的概念，因此不论是一元一次方程还是现如今所学的一元二次方程均要求方程两边均为整式，所以一元一次方程就是指只含有一个未知数并且未知数的次数是1的整式方程；一元二次方程是指只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程。【高频疑点】一元二次方程的一般形式是200axbxca，注意a≠0这一条件。1.若方程2331axax是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是___________；2.关于x的方程21150aaxx是一元二次方程，则a的值是___________。解一元二次方程:配方法1.解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。2.配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成2xnp（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。3.配方法具体操作：（1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举例：解方程2230xx，（2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配方。举例：解方程22230xx。4.2xnp（p≥0）的解法：对于方程2xnp（p≥0），它的左边是一个完全平方式，右边是非负数，利用平方根的定义，可以将这个方程进行降次，降为两个一元一次方程，即xnp和xnp，解两个一元一次方程即可。例题1（1）用配方法解方程2250xx时，原方程应变形为（）A.216xB.216xC.229xD.229x（2）下列方程中，一定有实数解的是（）A.210xB.22xaaC.22130xD.2210x思路分析：（1）可以采用验证法：将四个选项逐一化成一般形式，然后与原题中的方程进行对照；也可以直接配方，由2250xx得225xx，方程两边分别加上1，得22151xx，即216x，故选B；（2）任何一个数的平方均为非负数，即对于方程2xnp当p≥0时才有实数解。故选D。答案：（1）B；（2）D点评：配方法是一种代数式的恒等变形。例题2利用配方法解一元二次方程：（1）276xx；（2）2310xx。思路分析：对于二次项系数为1的一元二次方程，直接进行配方。答案：（1）276xx解：移项得267xx，两边分别加9，得26979xx，即2316x∴34x或34x∴11x，27x（2）2310xx解：移项得231xx，两边分别加94，2993144xx，即23524x∴3524x或3524x∴15322x，25322x点评：对于二次项系数为1的一元二次方程，首先将常数项移到方程的一边（通常移到右边）；然后在方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，便可将方程的左边配成完全平方式，再利用平方根的定义将二次降为一次，求解。例题3利用配方法解一元二次方程：（1）02522xx；（2）23410xx思路分析：对于二次项系数不为1的一元二次方程，只要将二次项系数化为1，即在方程两边同时除以二次项系数，把方程转化成二次项系数为1的一元二次方程，从而求解。答案：解：（1）02522xx移项，得2252xx，二次项系数化为1，得2512xx，配方，得252525121616xx，即259416x∴5344x或5344x，∴135244x，2351442x；（2）23410xx移项，得2341xx，二次项系数化为1，得24133xx，配方，得244143939xx，即22739x，∴2733x或2733x，∴17233x，27233x点评：感悟转化的数学思想：当一元二次方程的二次项系数不为1时，只要将二次项系数化为1，就可以把方程转化成二次项系数为1的一元二次方程，从而求解。【方法提炼】1.配方法的依据是完全平方公式：2222aabbab；2.利用配方法解一元二次方程的一般步骤为：（1）化二次项系数为1：方程两边分别除以二次项系数；（2）移项：把二次项和一次项放在等号的一边（通常为左边），把常数项放在等号的一边（通常为右边），（3）配方：方程两边分别加上一次项系数的一半的平方；（4）把方程左边写成完全平方的形式，右边为一非负数；（5）利用平方根的定义，把二次方程降为两个一次方程；（6）分别解两个一元一次方程即可。【综合拓展】一元二次方程2xnp，当p＞0时，原方程有两个不相等的实数根，当p=0时，原方程有两个相等的实数根，当p＜0时，原方程没有实数根。配方法在解数学题中的应用将一个代数式或一个代数式的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，这种方法称之为配方法。这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。配方法广泛应用于代数证明、求最值（最大值或最小值）、解方程、因式分解、代数式的求值、二次函数等。我们这里所讲的配方法主要是指配常数项，当二次项系数为1时，为了把一个二次式配成一个完全平方的形式，只要加上一次项系数的一半的平方即可，值得注意的是由于配方法是一种恒等变形，因此加上一个数则需要再减去这个数，以保持恒等关系。例如，将代数式223xx进行配方：22223211312xxxxx。当然这里也可以将3拆为1+2。例题1证明：代数式221220xx的值恒大于0。思路分析：对此代数式进行配方，将其化成2ab（b＞0）的形式。答案：证明：222222122026202699202691820232xxxxxxxxx∵不论x为何值，230x，所以22322x，即221220xx的值恒大于0。点评：若要证明一个代数式的值是一个正数，则设法将其化成2ab（b＞0）的形式，并且代数式2ab有最小值，最小值为b，此时a=0，对于这道题，2221220232xxx，∴此代数式有最小值2，此时x=3。若要证明一个代数式的值是一个负数，则设法将其化成2ab（b＞0）的形式。例如：无论x为何实数，代数式－x2＋4x－8的值恒小于4。例题2已知a2＋b2－4a－2b＋5=0，求ab的值。思路分析：对此方程左边进行配方，将其化为两个完全平方式的和的形式。答案：解：224250abab22425aabb224421541aabb22210ab∵220a，210b，∴220a，210b，即2a，1b，∴2ab点评：此题利用了完全平方式的非负性求解，几个非负数的和为0，则这几个非负数皆为0。例题3方程x2＋y2－4x＋10y＋16=0的整数解有______个（一对x和y的值视为一个解）。思路分析：对方程左边进行配方，化成两个完全平方式的和的形式。答案：22410160xyxy2241016xyxy2241016xxyy2244102516425xxyy222513xy当x和y均为整数时，22x和25y也为整数，并且是完全平方数，把13拆成两个完全平方数的和为4+9，∴当224x时，则259y；当229x时，则254y；即222459xy或222954xy，再将这两个方程组降为一次，2253xy；2253xy；2253xy，2253xy，或2352xy；2352xy；2352xy；2352xy每个方程组对应着一个解，因此此方程组有8个整数解。点评：利用配方法将一个二元二次方程转化为两个二元二次方程组，再利用平方根的定义将二元二次方程组降为二元一次方程组。【易错指津】配方时，当二次项系数为1时，配方所配的常数项是一次项系数的一半的平方，当二次项系数不为1时，首先将二次项系数化为1，若是解方程，则在方程两边除以二次项系数，若是对一个单独代数式进行配方，则提取二次项系数。【矫正训练】（1）解方程：－2x2＋4x＋8=0；（2）已知M=x2－8x+22，N=－x2+6x－3，则M、N的大小关系是