第13讲 不定积分的概念与基本公式

第13讲不定积分的概念与基本公式•原函数与不定积分•基本公式•基本性质•例题一、原函数与不定积分逆运算•3×5＝153×？＝15•35=2413？=241•(x－1)(x2＋x＋1)=x3－1•x3－1=(?)(?)xx2cos2)2(sinx2cos2)?(455xxx4是的导函数55x是x4的原函数55x也是x4的原函数155x也是x4的原函数cx55若,则)()(xfxFf(x)是F(x)的导函数.F(x)是f(x)的一个原函数.F(x)＋c都是f(x)的原函数.它称为f(x)的不定积分，记为cxFdxxf)()(cxFdxxf)()(:积分号f(x):被积函数x:积分变量,c:任意常数不定积分表示一族原函数.例如cxdxx554cxdxx11一、原函数与不定积分二、基本公式二、基本公式,1cxdxx1当α=－1时,cxdxx||ln1由知xxee)(cedxexx由知aaaxxln)(caadxaxxln由知xxcos)(sincxxdxsincos由知xxsin)(coscxxdxcossincxxdxtansec2(因)xx2sec)(tancxxdxcotcsc2(因)xx2csc)(cotcxdxxarctan112caxdxxaarctan122因为aaxaxa1)(111arctan12221xacaxdxxaarcsin122因为aaxax1)(11arcsin2221xa二、基本公式三、基本性质cxFdxxf)()(cxFdxddxxfdxd)()()(xfdxxFdxxf)()(cxFxdF)()(1、)()(xfdxxfdxd2、cxFxdF)()(3、dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([4、dxxfkdxxfk)()(四、例题例1dxxxx)12(3dxxxx)2(212327dxxdxxdxx2123272cxxx121123127121112321271cxxx232529325492例1dxxxx)12(3cxxx232529325492验算:)325492(232529cxxx2123272xxx例1dxx231dxx22)3(1cx3arctan31公式：caxdxxaarctan122例3dxx2161dxx2241公式：cx4arcsincaxdxxaarcsin122例4dxexx3dxex)3(ceex)3ln()3(公式:caadxaxxln例5dxx2tandxx)1(sec2dxxdx1sec2cxxtanxxcxxtan1sec)(tan2验算：例6设f(x)的导数为2x求dxxf)(解：,2)(xxfcxxf2)(dxcxdxxf)()(2Dcxx33例7已知f(x)的一个原函数是4x,求)(xf解由已知，)4()(xxf4ln4x因此2)4(ln4)(xxf例8已知一曲线通过点(e2,3),且在其上任一点处切线斜率等于该点横坐标的导数,求曲线方程.解设曲线方程为y=f(x),则xxf1)(于是cxdxxxfln1)(其中e由f(e2)=3所确定:3=lne2+c,c=1答:y=lnx+1小结1、原函数，不定积分：)()(xfxFcxFdxxf)()(2、不定积分的基本性质)()(xfdxxfcxgdxxg)()(3、基本公式表