《高数》不定积分

第四章不定积分教学目的要求1、理解原函数的概念，不定积分的概念、几何意义及性质。2、掌握不定积分的基本公式，不定积分的换元积分法和分部积分法。3、了解简单有理函数的积分方法。学习重点和难点重点不定积分的计算难点不定积分的换元积分法和分部积分法。原函数的逆运算。或微分求导的问题。这显然是，求归结为：已知从数学的角度看，可以)()()()(xFxfxF上的一个原函数。间在区为，则称或，使得函数，若存在函数上的已知是定义在区间设定义)()()()()()()()(xfxFdxxfxdFxfxFxFxf的一个原函数。函数是所以，例如，因为22)(22xxxx2)1(2，又因为xx，，xx2)3(2的原函数。是都，，，所以2C31222xxxx为任意常数，其中，C2)C(2xx定理（原函数存在定理）上的原函数必定存在。在区间上连续，则函数在区间如果函数)()(xfxf差是一个常数。之数，且任意两个原函数则它必有无穷多个原函，上有一个原函数在区间若定理)()(xFxf意常数。为任的全部原函数，其中是的一个原函数，则是若推论C)()()()(xfCxFxfxF不定积分的概念做积分微元。叫叫做积分变量，叫做被积表达式，被积函数，叫做”叫做积分号，上式中“，其中的不定积分，记为叫做的全体原函数函数定义)()()()()()()()()(dxxdxxfxfxfxFCxFdxxfxfCxFxf，而不是不定积分。求出的只是一个原函数”，否则，切记要“时注：求Cdxxf)(不定积分的几何意义xyCxFy)()(xFy0线。应，称为积分曲平面曲线与之对何上，就有一条的原函数，在几就对应一个确定，确定一个常数为任意常数，每，)()(CCCxFdxxf不定积分的性质性质1不定积分与求导数（或微分）互为逆运算，即；或、dxxfdxxfdxfdxxf)(])([)(])([)1.)()()()()2CxFxdFCxFdxxF或、性质2被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前，即，常数），（0)()(kdxxfkdxxfk性质3两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不定积分的代数和，即.)()()]()([dxxgdxxfdxxgxf这一结论可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形，即dxxfdxxfdxxfdxxfxfxfnn)()()()]()()([2121基本积分公式由于不定积分是求导数（或微分）的逆运算，那么就自然可以从导数公式得到相应的积分公式。)1(111111Cxdxxxxxx于是的一个原函数是例如：kdx)1(dxxa)2(dxax)3(dxex)4(dxx1)5(Cxcosxdxcos)7(是常数）kCkx()1(111aCxaaCaaxlnCexCxlnxdxsin)6(Cxsinxdxdxx22seccos1)8(xdxdxx22cscsin1)9(xdxxtansec)10(xdxxcotcsc)11(dxx211)12(dxx211)13(CxtanCxcotCxsecCxcsc)arccos(arcsin1CxCx)cot(arctan1CxarcCx见pag.79.以上十三个基本积分公式，是求不定积分的基础，必须熟记。套用基本积分公式和性质的积分方法称之为直接积分法。dxxx12求例题CxCxdxxdxxdxxx2712525212272125解：先化为x的形式，利用公式(2)来求不定积分。dxxx)5(22求例题Cxxdxxdxxdxxxdxxx2327212521252325725)5)5(（解：注:1)、分项积分后，每个不定积分的结果都含有任意常数。由于任意常数之和仍是任意常数，因此总的只写一个任意常数。2)、检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看它的导数是否等于被积函数。dxxx23)13（求例题Cxxxxxdxdxxdxxdxdxxxxdxxxxxdxxx1ln332133)133(133)122222323（解：dxexx24求例题CeCeedxedxeeeexxxxxxxxx2ln12)2ln()2()2(2)3(2)2(2得，，利用积分公式看作把解：dxxx1524求例题解：基本公式中没有这种类型的积分，经过变形化为表中所列类型，就可以逐项求积分：Cxxxdxxdxdxxdxxxdxxxxdxxxdxxxarctan311)111(11)1)(1(1111322222222424dxxxdx2sin2)tan1622）求下列不定积分例题Cxxdxxdxdxxxdxtansec)1(sectan1):222解Cxxxdxdxdxxdxx)sin(21cos21)cos1(212sin(2)2换元积分法换元积分法是复合函数的求导的逆运算，根据被积函数的不同特点将分为第一类和第二类换元积分法。第一类换元积分法（凑微分法）xdxxcossin2求例如CxCuduuxdxxduuxxdxuxddxxxxdxx332222222sin3131cossin)(sinsinsin)(sinsin)(sinsincossin回代，于是有则，令但直接积分法不能求出，解：CxFdxxxfxuCuFduufufuF)]([)()]([)()()()()(则有具有连续导数，，且的一个原函数，即为设定理通常用以下步骤应用上述定理：CxFCuFduufxdxfdxxxfux)]([)()()()([)()]([回代）（令这种求不定积分的方法通常叫做第一类换元积分法（凑微分法）dxx2321求例题CxCuduuxdxdxxux23lnln1)23(231232)23(回代令解：dxxx122求例题)1313121)1(1211232232112222CxCuduuxdxdxxxux（解：回代令方法熟悉后，可略去中间换元步骤，直接凑微分公式的形式（见pag.83凑微分）dx)(1baxda)(212xdxdxxdx)(2xddxex)(xeddxx1)(lnxdxdxsin)(cosxdxdxcos)(sinxdxdx2sec)(tanxdxdxcsc)(cotxd21xdx)(arcsinxd21xdx)(arctanxd)0(322axadx求例题121arcsin)()(11)(12222利用了公式——解：Caxaxdaxaxadxxadx2arctan122—类似可得Caxaxadxxdxtan4求例题3coslncos)(coscossintan—解：Cxxxddxxxxdx4sinlncot—类似可得Cxdxxxdxsec5求例题5tanseclntansec)tan(sectansectansecsectansec)tan(secsecsec2—解：Cxxxxxxddxxxxxxdxxxxxxxdx6cotcsclncsc—类似可得Cxxxdxdxax2216求例题7ln21lnln21)()(21)11(211:22—解CaxaxaCaxaxaaxaxdaxaxdadxaxaxadxax本题中七个积分，可以作为公式使用.在求解不定积分时，经常需要先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形，另外要多做题，掌握更多的积分技巧。xdx3sin7求例题Cxxxxdxdxdxxdxxxdx32223cos31cos)(coscos)(cos)(cos)cos1(sinsinsin解：xdx2cos8求例题Cxxxxddxxdxdxdxxxdx42sin2)2(2cos41212cos2122cos1cos2倍角公式解：Cxxxdx42sin2sin2类似可得dxex119求例题Cexeeddxdxeedxeeedxexxxxxxxxx)1ln((1)1()11(1111解：xdxx2cos3cos10求例题)cos()[cos(21coscosBABABA解：利用三角中的积化和差公式Cxxxxdxdxdxxxxdxx5sin101sin21)]5(5cos51cos[21)5cos(cos212cos3cos于是第二类换元积分法无理代换找出路，被积函数带根号，例如22dxxaCxFCtFdtttfdxxfCtFdtttfxttxxtxxf)([)()()]([)()()()]([3)()(2)()(1)(11还原变量则）存在，的反函数）连续，可导，且）连续，如果设函数定理这类求不定积分的方法，称为第二类换元积分法xdx211求例题dttdxtxtx)1(2)1(212，则，设解：CxxCxxCtttdtdtdttdtttxdx)21ln(2)21ln(21ln)11(1211还原变量xedx12求例题dtttdxtxtetexx12)1ln(11222，，，设解：CeeCtttdtdttttedxxxx1111ln11ln2121212122还原于是dxxx133求例题dttdxtxxt5666，，设解：CxxCttdttdttdtttdttttdxxx256)35(6][6)1(6611653524225323于是)0(422adxxa求例题来化去根式利用三角公式解：1cossin22ttCtttaCttadttatdtatdtataadxxatdtadxttax)cossin(2)2sin21(222cos1coscossincos22(sin2222222222于是），则ππ设xat22xa，于是，，作直角三角形，则有根据axataxtaxttax22cossinarcsinsinCxaxaxadxxa222222arcsin2)0(522aaxdx求例题来化去根式利用三角公式解：sectan122ttaCCCaxxCaxaaxCtttdtdttataaxdxtdtadxttaxln)ln()ln(tanseclnsecsecsecsec22(tan12212213P.832222其中，于是），则ππ设）公式（t22axaxCaxxCaaxaxtttdtdtatattaaxdx)ln()ln(tanseclnsecsectansec2212222222类似可得设tansecsectdttadxtaxx22axta注：1、第二类换元法常常用于被积函数中含有根式的情形，常用的变量替换可总结如下：的最小公倍