2014成考本科高数复习资料：第三章

第一节不定积分的概念与性质1.原函数与不定积分的概念2.基本积分表3.不定积分的性质微分学{导数微分积分学{不定积分定积分:d”“记为，求导数与求微分统称为微分运算xxfxFxfxFxFd)()(d),()()(d”“记为，）（其逆运算称为积分运算不定例),,(,cossinxxx),0(1||lnxxx一、原函数与不定积分的概念定义若在I上恒有F(x)=f(x)（即dF(x)=f(x)dx），称F(x)为f(x)在I上的一个原函数。。上的一个在是原函数),(cossinIxx,),0(1||ln上的一个原函数在是xx上的一个原函数。，在也是)0(1x考虑原函数的表达式：上的一个原函数在为上的一个原函数，则在为设)()()()(IxfxGIxfxF)()(xfxG)(xFIx0))()((xFxGCxFxG)()(.)()(CxFxG},|)({)(RCCxFIxf上的原函数全体为在,)()(上的任一个原函数在为其中IxfxF：上的原函数具有在一般表达式)(Ixf.)(CxF任意常数积分号被积函数不定积分的定义：CxFdxxf)()(被积表达式积分变量不定积分，记为dxxf)(.上的）在（或数的一般表达式）为数（原函上带有任意常数的原函在称)()()(IdxxfxfIxff(x)在I上的不定积分也可看成是f(x)在I上的原函数全体。例1).d1(dxx求解),,(,1Ixx,),(1一个原函数上的在为Ix).,(,Cdxxx),,(,1)1((xx又).),(,C)1(dxxx注是：的检验积分结果正确与否基本方法。被积函数积分结果的导函数基本积分表kCkxkdx()1(是常数);dxx)2(dxx211)4(Cxarctandxx211)5(Cxarcsinxdxcos)6(;sinCx;cotarcCx;arccosCxxdxsin)7(;cosCxxdx)3(;||lnCx);1(11Cxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxxdxsh)14(;chCxxdxch)15(.shCxxdx2sec)8(;tanCxxdx2csc)9(;cotCx基本积分表求不定积分的基本思想（仍然）是化繁为简——将所求积分化为基本积分表中的积分。.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据幂函数的积分公式Cxdxx11例2求（恒等变形法）dxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf二、不定积分的（线性）性质dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是常数，)0k例3dxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2.C例4dxaxaxaxannnn)(0111)0(nadxaxdxadxxadxxannnn0111xaxaxnaxnannnn0211121C三、第一类换元法)())(()(xxfxg若,)()(CuFduuf且则dxxg)(）（))(())((xdxf)())((xuCuF))(()(xuduuf第一类换元法dxxxf)())((——（凑微分法）。说明使用此公式的关键在于将所求积分dxxg)(凑成.)()]([dxxxf例1求.2sinxdx解法一xdx2sin)2(2sin21xxd凑分Cucos21基本积分表解法二xdx2sinxdxxcossin2)(sinsin2xxdCu2解法三xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxdCu2;2cos21Cx还原uduxusin212uduxu2sin;sin2Cxuduxu2cos.cos2Cx四、第二类换元法第二类换元法的反函数。是其中有原函数，则恒不为零，（单调、）可导且导数设)()(])()]([[)()()]([)(1)(1txxdtttfdxxfttftxxt证dxdtttfdxt)))()]([(()(1dxdtdtdtttfd))()]([()(1)()]([tttf)]([tf.)(xf..证毕例2解).0(122adxax令taxtantdtadx2secdxax221tdtata2secsec1tdtsecCtt)tanln(sectax22axCaaxax22ln2,2t.)ln(22Caxx微分法中的乘法何种积分法？设)(xuu、)(xvvC1,,vuvuuv由,vuuvvu,dxvuuvdxvu.duvuvudv即五、分部积分法得分部积分公式：用法：，适当分解被积式为)()()()()(xdvxudxxvxudxxf关键：选择要得当，vu,.)()()()()()(dxxvxuxduxvxvdxxf及化为求两部分积分将所求积分)(易求；使xv。比原积分易求dxxvxuxduxv)()()()(例题例1求.cosxdxx两个不同类型函数乘积的积分，换元法失效。xdxxcos)sin(2cos222xdxxxx显然，选择不当，积分更难进行.vu,解法二xdxxcosxxdsinxdxxxsinsin.cossinCxxx解法一分部积分法适合求两个不同类型函数乘积的积分。例2求.2dxexx解dxexx2dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx)(22dxexeexxxx有时需要多次使用分部积分，使积分逐步化简。第二节定积分的概念与性质1.定积分的定义2.定积分的性质设f在],[ba上有定义。记},,,max{21nxxx，在],[ba中任意插入分点bxxxxxann1210把],[ba分成小区间，记1iiixxx，),2,1(i，任取],[1iiixx，作乘积iixf)(),2,1(i并求和iinixfS)(1，一、定积分的定义定义baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量.],[积分区间——ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要，总有S趋于确定的极限I，就称f在[a,b]上可积，并称I为f在[a,b]上的定积分，记为积分上限积分下限积分和如果不论对[a,b]怎样的分法，二、定积分的性质补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数).性质2性质1与2合为（定）积分的线性:.)()()]()([bababadxxghdxxfkdxxhgxkf（k、h为常数).badxxkf)(iinidfxkf)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10线性.)(badfdxxfk*证性质2：证毕一、换元公式,1],[baCf）设（dxxxf)())(()1(则有,2],[1C）（].,[]),[(],[3ba上单调且在）（)())((xdxf)()()()(duufxubaduuf)(或abduuf;)(batxdxxf)()()2()()(11)())((batdtf或)())((dtttf.)())((dtttf定理注意:（2）不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变。例1205sincosxdxxxucos1066u.61015duu205sincosxdxx或为积分变量以xcos205coscosxxd206|cos61x.61（1）换元前后，上限对上限、下限对下限；例2053sinsindxxx023sincosdxxx变形去绝对值223sincosdxxx2023sinsinxdx凑分223sinsinxdx2025sin52x225sin52x.542023sincosdxxx例343)ln1(lneexxxdx凑分43)ln1(ln)(lneexxxd432)ln(1ln2eexxd43)lnarcsin(2eex.643)ln1(ln)(lneexxxd，、设],[1)()(baCxvxu二、分部积分公式则badxxvxu)()(微积分基本公式badxxvxu])()([不定积分的分部积分法badxxvxuxvxu])()()()([babadxxvxuxvxu])()([)]()([微积分基本公式babadxxvxuxvxu.)()()]()([得分部积分公式，、设],[1)()(baCxvxu则badxxvxu)()(baxvxu)]()([badxxvxu.)()(定积分的分部积分公式的用法与不定积分的分部积分公式的用法类似。例9计算.arcsin210xdx解210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx62112为积分变量换元：以x)1(112120221xdx1221021x.12312消反三角函数，可用分部积分法。另解210arcsinxdx60sintt分部积分60sintdt21660][cost.1231260sinarcsinsintdttxxt则换元：例9计算.arcsin210xdx例12求202.cosxdxex202cosxdxex202sinxdex202]sin[xex202sinxxde202sin2xdxeex202cos2xdeex220202)cos]cos([2xxxdexee202cos42xdxeex).2(51cos202exdxex解第三节定积分的应用xyo)(xfyab1.直角坐标情形有关；与）],[1baA一、平面图形的面积xxx.)()(babadxxfxdAA的分割有可加性；对）],[2baA],[3满足上的部分量在）AxxxA|)(|xxxfA)1(xo,)(xo.],[,)()(baxdxxfxdAdAA用元素法建立曲边梯形面积A的计算公式：妨此可得（图1）的面积：yxOcdAdcydAA)(yx=f(y)xyo)(1xfy)(2xfyabbadx