平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理与坐标表示非零向向量与量ba共线,当时，0与同向，ba且是的倍;||b||a当时，0与反向，ba且是的倍;||b||a||当时，00b，且.||0b复习:有且只有一个实数λ，使得b=λa.⑴向量共线充要条件ab⑵向量的加法：OBCAabOAaBbbaba平行四边形法则三角形法则共起点首尾相接1e2eOCABMNOCOMON如图111OMOAe1122OCee1122+aee即222ONOBea12思考：一个平面内的两个不共线的向量e、e与该平面内的任一向量a之间的关系.1e2eOCABMNaOCOMON如图111OMOAe1122OCee1122+aee即222ONOBe1122+aee1122这就是说平面内任一向量a都可以表示成λe+λe的形式平面向量基本定理：12这里不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.12121122如果e、e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，可使a=λe+λe(1)不共线的向量叫做这一平面内所有向量的一组基底;12,ee(4)基底给定时,分解形式唯一.(2)基底不唯一;12e,e0(3)任一向量都可以沿两个不共线的方向（的方向）分解成两个向量（）和的形式；a12,ee1122,ee说明：1.判断下列说法是否正确：A、一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；B、一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；C、零向量不可为基底中的向量。2.设O是平行四边形ABCD的两对角线交点，下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB。其中可作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一组基底的是?的值和求，，且，如果ktbaeekbetea21213.3×√√①，③K=1,t=-3概念辨析答案解析4.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（）A.e1－e2，e2－e1B.2e1－e2，e1－e2C.2e2－3e1，6e1－4e2D.e1＋e2，e1－e212反思与感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.例1.已知向量e1,e2，求作向量-2.5e1+3e2作法:1、任取一点O,作.eOB,e.OA213521e2eOABC2、作OACB.12.5e23eOC3、就是求作的向量例题解析解答例2.如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若AB→＝a，AD→＝b，试以a，b为基底表示DE→，BF→.解答跟踪训练2如图所示，在△AOB中，OA→＝a，OB→＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且OM→＝13a，ON→＝12b，设AN→与BM→相交于点P，用基底a，b表示OP→.两个非零向量，ab,OAaOBb作向量的夹角)1800(180与反向abOABabOAa0Bbb的夹角，就叫做则baAOB记作ab90与垂直，abOABab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的与同向abOABaba向量的正交分解12112212,,eeeeee　　一个平面向量用一组基底表示成ａ的形式，我们称它为向量的分解。当互相垂直时，就称为向量的正交分解。在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便4321-1-2-3-2246ij），（23P32(3,2)OPijO4321-1-2-3-2246ij），（yxP(,)OPxiyjxy向量的坐标表示O向量P（x，y）一一对应OP在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?Aoxyaa可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处.解决方案:ABCDoxyija平面向量的坐标表示如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则,ij,ijxy对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，可使ax=i+yj这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作a(,)axy①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。aa1、把a=xi+yj称为向量基底形式.2、把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标,记为：a=(x,y),称其为向量的坐标形式.3、a=xi+yj=(x,y)4、其中x、y叫做a在X、Y轴上的坐标.单位向量i=（1，0），j=（0，1）5．在平面内有点A（x1,y1）和点B(x2,y2)，向量=AB2121（x-x,y-y）例2．如图，用基底，分别表示向量并求它们的坐标．解：由图可知1223aAAAAij(2,3)a　同理，23(2,3)bij23(2,3)cij23(2,3)dij平面向量的坐标表示,,,abcdjiA1AA2yxO1abcdij