函数单调性与导数

导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:2：常见函数的导数：C’=______;(xn)’=_____;(sinx)’=_____;(cosx)’=_____;(ax)’=______;(ex)’=______;(logax)’=_____;(lnx)’=_______.观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?105.69.4)(2ttth5.69.4)(ttvaabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,()()0.vtht②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,.0)()(thtv(1)(2)2.观察下面四个函数的图象，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数，如果在这个区间内f′(x)0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f′(x)0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.(1)函数y=f(x)在区间I内单调增f′(x)0探究二:下列命题正确吗?(用I表示某个区间)(2)在区间I内f′(x)≥0函数y=f(x)在I内单调增(1)函数y=f(x)在区间I内单调增f′(x)≥0不能不能新知1函数的单调性与其导函数的正负关系：如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数新知2：如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为函数f′(x)0是f(x)为增函数的条件；f′(x)≥0是f(x)为增函数的条件．即若在某个区间上有有限个点使得f'(x)=0,而在其余的点恒有f'(x)0(或f'(x)0),则该函数在该区间上仍为增函数（减函数）例2、已知导函数的下列信息：'()fx当1x4时，0;当x4,或x1时，0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。'()fx'()fx'()fx()yfxxyo14xyo14xyo14xyo14ABCD()yfx()yfx()yfxD导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关正负2．应用导数信息确定函数大致图像32()23241fxxxx()sin,(0,)fxxxx试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）f(x)=x3+3x;（2）（3）．(4)y=ex-x+1(2)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4))(xf当0，即时，函数单调递增；)(xf21712171xx或xyoxxxfsin)((3)f(x)=sinx-x;x∈(0,)解：=cosx-10)(xf从而函数f(x)=sinx-x在x∈(0,)单调递减，见右图。(4)判定函数y=ex-x+1的单调区间.递增区间为(0,+∞)递减区间为(-∞,0)解题小结：如何用导数判断单调性、求单调区间？用导数法确定函数的单调性时的步骤是：注：单调区间不以“并集”出现。（2）求出函数f(x)的导函数（3）在定义域内求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（4）在定义域内求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间（1）确定函数f(x)的定义域例3求证函数f(x)=x+（0，1）为单调减函数.x1-22-11fx)=x+1xxOy3．用导数证明函数在某个区间上的单调性例4：已知a0,函数f(x)=x3-ax在x=1时是单调递增函数。求a的取值范围0)('),1[.20.1xfxa时，当）；（）（上是增函数且在解：因为),1[,3)('2axxf恒成立。对任意所以),1[03)('2xaxxf分析：由题目可获得以下主要信息：的值解恒成立的问题，然后求对转化为所以本题可以先把问题axxf),1[,0)('恒成立；对任意所以，),1[32xxa),,1[,332xx又30a所以4．已知函数单调性求参数的取值范围1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是()(A)单调递增函数(B)单调递减函数(C)部分单调增，部分单调减(D)单调性不能确定AAB分层训练2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为()，则a的取值范围为()(A)a0(B)–1a1(C)a1(D)0a133,335.已知函数f(x)=2ax-x3(a0),若f(x)在（0,1）上是增函数，求a的取值范围4．函数的单调递增区间是____xxxf2ln2)(212)(23axxxf)0,(),2()2,0(6.函数在区间和内单调递增，且在区间内单调递减，则常数a的值为．7.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间上是增函数（）A（π/2，3π/2）B（2π，3π）C（3π/2，5π/2）D（π，2π）D:(cossin)(cos)coscos(cos)cossinsin0,sin0yxxxxxxxxxxxxxxxxx解∵∵(,2),0,sin0,sin0xxxxx课堂小结(1)这节课你懂了什么知识?(2)用你所学知识能解决哪些类型的问题?(3)解题中有失误吗,什么地方值得你注意？