【聚焦典型题】(人教B版)2014届高考一轮山东数学(理)《同角三角函数的基本关系式与诱导公式》

第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题返回目录返回目录考试大纲1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα；2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式——知识梳理——一、同角三角函数的基本关系式1．平方关系：____________________；2．商数关系：________；即同一个角α的正弦、余弦的________等于1，商等于角α的________．返回目录双向固基础sin2α＋cos2α＝1平方和正切sinαcosα＝tanα二、诱导公式返回目录双向固基础第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六角α＋k·2π(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα//1.公式一～四：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的________函数值，前面加上一个把α看成________时原函数值的符号，记忆规律是：函数名不变，符号看象限．2．公式五～六：±α的正弦(余弦)值，分别等于α的___________值，前面加上一个把α看成________时原函数值的符号，记忆规律是：函数名改变，符号看象限．返回目录双向固基础第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式同名锐角余弦(正弦)锐角——疑难辨析——返回目录双向固基础第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．三角函数关系式应用(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()[答案](1)×(2)×[解析](1)只有当α＝β时，才有sin2α＋cos2β＝1.(2)因为cosα≠0，则α≠π2＋kπ，k∈Z.返回目录双向固基础第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式2．基本关系式的应用(1)sin2α＋cos2α＝sin2θ＋cos2θ.()(2)(sinα＋cosβ)2＝1＋2sinαcosβ.()[答案](1)√(2)×[解析]应用平方关系，可得(1)正确．(2)中有两个角α，β，不是同角三角函数，故(2)错．返回目录双向固基础第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式3．诱导公式的应用(1)若sin(3π＋θ)＝13，则sinθ＝13.()(2)若cosπ2＋α＝m，则sinα＝m.()(3)sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(k∈Z)．()[答案](1)×(2)×(3)×返回目录双向固基础第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式[解析](1)先应用诱导公式一，得sin(3π＋θ)＝sin(2π＋π＋θ)＝sin(π＋θ)；再应用公式二，得sin(π＋θ)＝－sinθ，故sinθ＝－13.(2)因为π2＋α可看作是第二象限的角，则cosπ2＋α＝－sinα，故sinα＝－m.(3)当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sinα；当k＝2n＋1(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα.返回目录双向固基础第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式4．常用的有关结论(1)cos2α＝11－tan2α.()(2)1－sin2α＝sinα－cosα.()(3)sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα＝1.()[答案](1)×(2)×(3)√返回目录双向固基础第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式[解析](1)由sin2α＋cos2α＝1和sinαcosα＝tanα，得tan2αcos2α＋cos2α＝1，故cos2α＝11＋tan2α.(2)因为1－sin2α＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝(sinα－cosα)2，故1－sin2α＝|sinα－cosα|.返回目录双向固基础第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式(3)由sinα＋cosα＝1，sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝1，cosα＝0或sinα＝0，cosα＝1.∴sinnα＋cosnα＝1.另外，观察单位圆与直线x＋y＝1，交点坐标为(1，0)和(0，1)，可得若满足sinα＋cosα＝1，则sinα＝1，cosα＝0或sinα＝0，cosα＝1.故sinnα＋cosnα＝1.说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析2012年课标地区真题卷情况．返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式考点统计题型(考频)题型示例(难度)1.同角三角函数基本关系式选择(5)解答(1)2012年福建T17(B)，2012年天津T6(B)2.诱导公式解答(3)2012年广东T16(A)，2012年安徽T16(A)3.三角形中的诱导公式解答(1)2012年课标T17(A)►探究点一同角三角函数基本关系式的应用返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式例1(1)[2012·辽宁卷]已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－22C.22D．1(2)已知tanα＝m，则三角式2sin2α＋12cos2α的值为()A.2m2＋12m2＋1B.2mm2＋1C.m2＋12m2＋1D.m＋12m2＋1返回目录第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式[思考流程](1)分析：利用平方关系求出关于角α的正弦、余弦值的式子；推理：依据同角关系把分母1换成sin2α＋cos2α；结论：得出对应的角的正切值．(2)分析：依据同角关系式把分母1换成sin2α＋cos2α；推理：利用同角关系式分子分母同除以cos2α化为正切问题；结论：得所求式子的值．点面讲考向[答案](1)A(2)A返回目录第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式[解析](1)∵sinα－cosα＝2，∴(sinα－cosα)2＝2，∴1－2sinαcosα＝2，∴sinαcosα＝－12，∴sinαcosαsin2α＋cos2α＝－12，∴tanαtan2α＋1＝－12，∴tanα＝－1.故答案选A.(2)2sin2α＋12cos2α＝2sin2α＋12cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α＋12tan2α＋1＝2m2＋12m2＋1.点面讲考向[点评]已知角α的一个三角函数值，利用sin2α＋cos2α＝1和tanα＝可求得另外的两个三角函数值；若角α所在的象限已知，则所求三角函数值的符号确定，可直接求值；若角α所在的象限不确定，则必须分类讨论，例如下面变式题．返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式归纳总结①同角三角函数基本关系的功能是根据角的一个三角函数值求解另外的三角函数值以及对同角的三角函数式进行变换，同角三角函数的基本关系和方程思想联系密切，注意方程思想的运用．②在三角函数问题中经常使用常数代换法，其中之一就是把1代换为sin2α＋cos2α.返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式变式题(1)已知tanα＝－13，则2sinα－cosα＝________．(2)已知sinα＝m(m≠±1)，则tanα＝________．[答案](1)102或－102(2)m1－m2或－m1－m2返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式[解析](1)由tanα＝－13，得cosα＝－3sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋9sin2α＝1，即sin2α＝110，∵tanα＝－130，∴α为第二或第四象限角．当角α为第二象限角时，sinα＝1010，cosα＝－31010，2sinα－cosα＝21010＋31010＝102；当角α为第四象限角时，sinα＝－1010，cosα＝31010，2sinα－cosα＝－21010－31010＝－102，综上，得2sinα－cosα＝102或－102.返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式(2)∵sinα＝m(m≠±1)，∴角α的终边不在y轴上．当α为第一、四象限角时，cosα＝1－sin2α＝1－m2，tanα＝m1－m2；当α为第二、三象限角时，cosα＝－1－m2，tanα＝－m1－m2，综上，tanα的值为m1－m2或－m1－m2.►探究点二诱导公式的运用返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式例2(1)[2012·豫南六校联考]已知cosπ2＋α＝2sinα－π2，则sin3（π－α）＋cos（α＋π）5cos5π2－α＋3sin7π2－α的值为________．(2)[2012·山西调研]已知sin(3π＋α)＝lg1310，则cos（π＋α）cosα[cos（π－α）－1]＋cos（α－2π）cosαcos（π－α）＋cos（α－2π）的值为________．返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式思考流程(1)分析：依据诱导公式化简求出α正切值；推理：再应用公式化α正余弦函数为正切；结论：得出函数的值．(2)分析：依据条件和诱导公式求出sinα的值；推理：再应用诱导公式和同角关系式化简为sinα的三角函数；结论：得出函数的值．[答案](1)335(2)18返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式[解析](1)∵cosπ2＋α＝2sinα－π2，∴－sinα＝－2sinπ2－α，∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.∴sin3（π－α）＋cos（α＋π）5cos5π2－α＋3sin7π2－α＝sin3α－cosα5cos2π＋π2－α＋3sin4π－π2－α＝sin3α－cosα5cosπ2－α－3sinπ2＋α＝sin3α－cosα5sinα－3cosα＝sin2α·tanα－15tanα－3＝2sin2α－110－3＝2sin2α－17＝2sin2α－（sin2α＋cos2α）7（sin2α＋cos2α）＝sin2α－cos2α7（sin2α＋cos2α）＝tan2α－17（tan2α＋1）＝4－17×（4＋1）＝335.返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式(2)由于sin(3π＋α)＝－sinα，lg1310＝－13，得sinα＝13，所以原式＝－cosαcosα（－cosα－1）＋cosα－cos2α＋cosα＝11＋cosα＋11－cosα＝2sin2α＝18.[点评]应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，容易出错的地方是三角函数的符号；求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角→正角化锐角→求值”．返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式归纳总结利用诱导公式可以求任意角的三角函数，其一般思路是先把负角化为正角，再化为[0，2π)范围内的角，最后化为锐角求值；运用诱导公式的关键是确定符号，具体做法是将α视为锐角后，再判断所求角的象限．返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式返回目录点面讲考向第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式变式题(1)化简sin（kπ－α）cos[（k－1）π－α]sin[（k＋1）π＋α]cos（kπ＋α）(k∈Z)为________．(2)对任意的a∈(－∞，0)，总存在x0使得acosx0＋a≥0成立，则sin2x0－π6的值为__