【聚焦典型题】(人教B版)《二项式定理》

第59讲二项式定理双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题返回目录返回目录1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．考试大纲——知识梳理——第59讲二项式定理返回目录双向固基础一、二项式定理(a＋b)n＝___________________________________________(n∈N*)称为二项式定理，其中Cnk(k∈{0，1，…，n})叫做____________，Tk＋1＝__________________(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)称为二项展开式的通项公式．Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn二项式系数Cnkan－kbk第59讲二项式定理返回目录双向固基础二、二项式系数的性质性质1：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即Cnk＝________．性质2：当n为偶数时，展开式的项数为奇数，此时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式的项数为偶数，此时，__________的二项式系数相等且最大．性质3：由(1＋x)n＝Cn0＋Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnkxk＋…＋Cnnxn，令x＝1，得Cn0＋Cn1＋…＋Cnk＋…＋Cnn＝2n，即二项式系数的和为2n.Cnn－k中间两项第59讲二项式定理返回目录双向固基础三、杨辉三角下面的数表称为杨辉三角第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………其中第n行是__________________________________．Cn0，Cn1，Cn2，…，Cnn－1，Cnn——疑难辨析——返回目录双向固基础第59讲二项式定理1．对二项式定理的理解(1)Cnkan－kbk是二项展开式的第k项．()(2)公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．()[答案](1)×(2)×返回目录双向固基础第59讲二项式定理[解析](1)Cnkan－kbk表示的是二项展开式的第k＋1项．(2)从形式上看二项展开式的字母a，b是有顺序的，但是根据加法满足交换律，交换a，b后运算结果不变，实际上根据二项式系数的性质，交换a，b后的两个展开式可以化为同一个展开式，虽然我们在习惯上使用二项式定理时讲究两个字母的顺序，但不能说两个字母不能交换．返回目录双向固基础第59讲二项式定理2．二项式系数的性质的应用(1)二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn这n＋1个组合数．()(2)当r≤n＋12时，二项式系数Cnr的值逐渐增大，当r≥n＋12时，Cnr的值逐渐减小，且在中间取得最大值．当n为偶数时，中间一项n2＋1的二项式系数Cn2n取得最大值；当n为奇数时，中间两项第n＋12和n＋12＋1项的二项式系数Cn－12n，Cn＋12n相等并同时取最大值．()(3)Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1.()(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×返回目录双向固基础第59讲二项式定理[解析](1)根据二项式系数的定义可知正确．(2)二项式系数中间最大，分n为奇数和偶数可得．(3)在(1＋x)n＝Cn0＋Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnkxk＋…＋Cnnxn中令x＝－1，得Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1.(4)在(1＋x)9的展开式中第5和第6项系数最大，但在(1－x)9的展开式中第5项是T5＝C94(－x)4＝C94x4，系数为正值，第6项是T6＝C95(－x)5＝－C95x5，系数为负值，故第5项的系数最大．说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析2012年课标地区真题卷情况．返回目录点面讲考向第59讲二项式定理考点考频示例(难度)1.展开式中的特定项或特定的系数选择(2)填空(2)2012年广东T10(A)，2012年福建T11(A)，2012年湖南T13(B)2.二项式系数与项的系数问题03.二项式定理的综合应用选择(2)2012年安徽T7(B)►探究点一求展开式中的特定项或特定的系数返回目录点面讲考向第59讲二项式定理例1(1)[2012·广东卷]x2＋1x6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)(2)[2012·陕西卷](a＋x)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为________．返回目录第59讲二项式定理点面讲考向[思考流程](1)分析：理解二项式定理；推理：写出展开式的通项；结论：得出特定项的系数．(2)分析：应用二项式定理；推理：按通项得x2的系数；结论：解方程得a的值．[答案](1)20(2)1返回目录第59讲二项式定理[解析](1)展开式的通项公式是Tr＋1＝C6rx2(6－r)1xr＝C6rx2(6－r)x－r＝C6rx12－3r，令12－3r＝3，解得r＝3，所以x3的系数为C63＝20.(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C5ra5－rxr，令r＝2，得x2的系数为C52a3.由x2的系数为10，即有C52a3＝10，解得a＝1，故实数a的值为1.点面讲考向返回目录第59讲二项式定理[点评]求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．点面讲考向返回目录点面讲考向第59讲二项式定理归纳总结二项式定理的核心是它的通项公式，通项公式可以表示二项展开式中的任意一项，只要n，r确定，该项也就确定；利用二项展开式的通项可以求出展开式中的任意指定项，对于求两个多项式的积的特定项，可由分类加法计数原理讨论求解．返回目录点面讲考向第59讲二项式定理变式题(1)[2012·安徽卷](x2＋2)1x2－15的展开式的常数项是()A．－3B．－2C．2D．3(2)[2012·湖南卷]2x－1x6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)[答案](1)D(2)－160返回目录点面讲考向第59讲二项式定理[解析](1)因为x2＋21x2－15＝x21x2－15＋21x2－15，又21x2－15展开式中的常数项为2C551x20(－1)5＝－2，x21x2－15展开式中的常数项为x2C541x21－14＝5，故二项式x2＋21x2－15展开式中的常数项为－2＋5＝3.(2)由二项式的通项公式得Tr＋1＝C6r(2x)6－r－1xr＝(－1)r26－rC6rx3－r，令3－r＝0，得r＝3，所以常数项为T4＝(－1)326－3C63＝－160.►探究点二二项式系数与项的系数问题返回目录点面讲考向第59讲二项式定理例2(1)若x＋1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．(2)[2012·商丘二模]二项式(1＋sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为52，则x在[0，2π]内的值为________．[思考流程](1)分析：二项式系数的含义；推理：由二项式系数相等确定n；结论：得出特定项的系数．(2)分析：二项式性质；推理：确定中间项；结论：求x的值．返回目录点面讲考向第59讲二项式定理[答案](1)56(2)π6或5π6返回目录点面讲考向第59讲二项式定理[解析](1)由题有Cn2＝Cn6，∴n＝8，Tr＋1＝C8rx8－r1xr＝C8r1x2r－8，令2r－8＝2⇒r＝5，∴1x2的系数为C85＝56，故填56.(2)二项式(1＋sinx)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C6r(sinx)6－r，展开式有7项，中间一项是第4项，即二项式系数最大的项，由已知，得C63(sinx)6－3＝52，解得sinx＝12.∵x∈[0，2π]，∴x＝π6或5π6，故x在[0，2π]内的值为π6或5π6.[点评]第(1)小题是与二项式系数有关的问题，解题的突破口为先利用二项式系数相等求出n，再结合通项公式求解．第(2)小题求二项式系数最大项，若n为偶数，则中间一项的二项式系数最大；若n为奇数，则中间两项的二项式系数最大．返回目录点面讲考向第59讲二项式定理归纳总结二项式系数、二项展开式项的系数是两个不同的概念，在解题时要注意区分，二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关．返回目录点面讲考向第59讲二项式定理返回目录点面讲考向第59讲二项式定理[答案](1)D(2)C变式题(1)[2012·山西四校联考]若x＋1xn展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于()A．8B．16C．80D．70(2)[2012·三明模拟]在x2－13xn的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x4的系数是()A．－7B．7C．－74D.74返回目录点面讲考向第59讲二项式定理[解析](1)展开式的通项为Tr＋1＝Cnrxn－r1xr＝Cnrxn－2r，由已知展开式中第四项与第六项的系数相等，得Cn3＝Cn5，即n＝8，令n－2r＝0，得r＝4，∴展开式的常数项是T5＝C84＝70，故选D.返回目录点面讲考向第59讲二项式定理(2)由已知只有第5项的二项式系数最大，得第5项是展开式的中间项，则n2＋1＝5，解得n＝8，∴展开式的通项是Tr＋1＝Cnrx2n－r－13xr＝(－1)rC8r128－rx8－43r.令8－43r＝4，解得r＝3，∴展开式中含x4的项是T4＝(－1)3C83125x4＝－74x4，故选C.►探究点三二项式定理的综合应用返回目录点面讲考向第59讲二项式定理例3(1)[2012·郑州质检]在二项式x2－1xn的展开式中，则展开式中各项系数的和为()A．32B．－32C．0D．1(2)[2012·浙江卷]若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________．[答案](1)C(2)10返回目录点面讲考向第59讲二项式定理[解析](1)在二项式x2－1xn中，令x＝1，得展开式中各项系数的和为12－115＝0，故选C.(2)方法一：由于f(x)＝x5＝（1＋x）－15，那么a3＝C52(－1)2＝10，故应填10.方法二：对等式f(x)＝x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5两边连续对x求导三次得60x2＝6a3＋24a4(1＋x)＋60a5(1＋x)2，再运用赋值法，令x＝－1得：60＝6a3，即a3＝10.方法三：由等式两边对应项系数相等．即a5＝1，C54a5＋a4＝0，C53a5＋C41a4＋a3＝0⇒a3＝10.返回目录点面讲考向第59讲二项式定理[点评]涉及二项展开式的系数和的问题，基本方法是“赋值法”，对展开式两边的x赋以同值，利用恒等关系得到系数的和；正确地把函数与二项展开式加以对比，再结合二项式定理加以分析与应用．注意等式的拆分与组合．返回目录点面讲考向第59讲二项式定理归纳总结二项式定理给出的是一个恒等式，常根据待求式子的特征，对a，b赋予一些特定的值，是解决二项式问题的一种重要思想方法，赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f(a，b)＝(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnnbn，对a，b赋予一定的值，就能得到一个等式．求解二项展开式的综