【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《函数图象》

【2014年高考会这样考】1．利用函数图象的变换(平移、对称、翻折、伸缩)作函数图象的草图．2．根据函数的解析式辨别函数图象．3．应用函数图象解决方程、不等式等问题．4．利用函数图象研究函数性质或求两函数图象的交点个数.第7讲函数图象抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考限时规范训练函数图象的变换等价变换描点法作图考向一考向二考向三函数图象的辨识单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】函数图象的应用函数图象的辨识作函数图象选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、考点梳理1．函数图象的变换(1)平移变换①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移单位而得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于对称．左右a个上下b个y轴x轴原点考点梳理(3)伸缩变换①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)或缩(a＜1时)到原来的a倍，横坐标不变．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)或缩(a＞1时)到原来的倍，纵标标不变．(4)翻折变换①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．1a考点梳理2．等价变换例如：作出函数y＝1－x2的图象，可对解析式等价变形y＝1－x2⇔y≥0，1－x2≥0，y2＝1－x2⇔y≥0，y2＝1－x2⇔x2＋y2＝1(y≥0)，可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图．3．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．助学微博数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置．一条主线(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．(1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．(2)函数解析式的等价变换．(3)研究函数的性质,描点作图.两个区别三种途径1．(人教A版教材习题改编)为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点()．A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2．(2013·太原一模)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是()．3．(2011·陕西)函数y＝x13的图象是()．4．当a≠0时，y＝ax＋b与y＝(ba)x的图象大致是()．5．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解考点自测CBBC12345【例1】►作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1－1；(2)y＝sin|x|．(3)y＝|log2(x＋1)|.解(1)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到y＝2x＋1－1的图象，如图①．(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，如图②所示．[审题视点]根据函数性质通过平移,对称等变换作出函数图象．考向一作函数的图象xO1y-121图①-2xOy1图②考向一作函数的图象xO1y-121图③[审题视点]根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．[方法锦囊](1)熟知一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象,再利用图象变换的规律作图．(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，以简化作图过程．(3)首先作出y＝log2x的图象c1，然后将c1向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象c2，再把c2在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即为所求图象c3：y＝|log2(x＋1)|.如图③所示(实线部分)．【训练1】►分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1；(4)y＝x＋2x－1.解(1)y＝lgx，x≥1.－lgx，0x1.图象如图①.(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②.(3)y＝x2－2x－1x≥0，x2＋2x－1x0.图象如图③.(4)因y＝1＋3x－1，先作出y＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝x＋2x－1的图象，如图④.考向一作函数的图象[审题视点]根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．[方法锦囊](1)熟知一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象,再利用图象变换的规律作图．(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，以简化作图过程．[审题视点]利用函数的奇偶性及函数值的变化规律求解．【方法锦囊】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．考向二函数图象的辨识【例2】►(2012·山东)函数y＝cos6x2x－2－x的图象大致为()．解析函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，排除A；令y＝0得cos6x＝0，所以6x＝π2＋kπ(k∈Z)，x＝π12＋k6π(k∈Z)，函数的零点有无穷多个，排除C；函数在y轴右侧的第一个零点为π12，0，又函数y＝2x－2－x为增函数，当0xπ12时，y＝2x－2－x0，cos6x0，所以函数y＝cos6x2x－2－x0，排除B；选D.答案D【训练2】如图所示，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N，设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()．解析选B.在P点由B点向D1点运动的过程中，考虑P点的特殊位置，即考虑P点为BD1的中点时，此时，M，N分别为AA1和CC1的中点，MN的值最大，故排除A，C.取AA1中点E和CC1中点F，则BE，BF分别为点M，N的运动轨迹，所以有tan∠EBD1＝12yx，故y＝2x·tan∠EBD1，而∠EBD1为定值，故f(x)的图象为线段．排除D.答案B[审题视点]利用函数的奇偶性及函数值的变化规律求解．【方法锦囊】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．考向二函数图象的辨识利用函数的图象可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图象交点的问题．.[审题视点](1)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质．(2)利用函数图象可以解决一些形如f(x)＝g(x)的方程解的个数问题．考向三函数图象的应用【方法锦囊】【例3】►已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．解f(x)＝x－22－1，x∈－∞，1]∪[3，＋∞－x－22＋1，x∈1，3作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0m1，∴M＝{m|0m1}．xO1y321-12y=m考向三函数图象的应用【训练3】(2012·天津)已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．解析y＝|x2－1|x－1＝x＋1，x1或x－1，－x－1，－1≤x1，函数y＝kx－2恒过定点M(0，－2)，kMA＝0，kMB＝4.当k＝1时，直线y＝kx－2在x1时与直线y＝x＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈(0,1)∪(1,4)，两函数图象恰有两个交点．答案(0,1)∪(1,4)y=kx-2MAB利用函数的图象可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图象交点的问题．.[审题视点](1)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质．(2)利用函数图象可以解决一些形如f(x)＝g(x)的方程解的个数问题．【方法锦囊】热点突破7函数图象的辨识【命题研究】从近两年的高考试题来看，图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质、方程、不等式的解是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想．预测2014年高考仍将以识图、用图为主要考向，重点考查函数的图象性质以及方程、不等式与图象的综合问题．揭秘3年高考[教你审题]观察函数f(x)及四个选项的特点，从函数的定义域、值域、单调性入手或用特殊点验证．[解法]函数f(x)的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，排除D；又f(1)＝1ln2－10，排除A；g′(x)＝1x＋1－1＝－1x＋1．当－1x0时，g′(x)0，g(x)单调递增，∴g(x)g(0)＝0，∴f(x)在(－1,0)上单调递减且小于0，排除C.故选B.[答案]Ｂ[反思](1)对基本函数的关系式、定义域、值域细心研究，抓住其关键点、单调性、奇偶性等特征，作为判断图象的依据．(2)要掌握判断函数图象的一些基本方法，如：特殊点法(利用特殊点筛选淘汰)，导数法(借助导数判断单调性、凹凸性)，辅助线法(借助辅助线判断点的位置、图象凹凸状况)，平移法，对称法等．【真题探究】►(2012·新课标全国)已知函数f(x)＝1lnx＋1－x，则y＝f(x)的图象大致为()．解析y′＝12－2cosx．令y′＝0，得cosx＝14，则这个方程有无穷多解，即函数y＝x2－2sinx有无穷多个极值点，又函数是奇函数，图象关于坐标原点对称．故选C.答案C【试一试】(2011·山东)函数y＝x2－2sinx的图象大致是()．1．函数y＝esinx(－π≤x≤π)的大致图象为(D)．解析因－π≤x≤π，由y′＝esinxcosx0，得－π2xπ2.则函数y＝esinx在区间－π2，π2上为增函数，排除A、B、C，故选D.答案D2．已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a，b)共有(B)．A．2对B．5对C．6对D．无数对解析显然f(x)＝4|x|＋2－