课件：三垂线定理及逆定理

一、复习引入：1、什么叫平面的斜线、垂线,什么叫射影？aAPoαPO是平面α的斜线,O为斜足;PA是平面α的垂线,A为垂足;AO是PO在平面α内的射影.三垂线定理aAPoα二、新课学习:2.如果aα,a⊥AO，思考a与PO的关系如何？你能否由此得出一般的规律?PaAoα三垂线定理已知:PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且aα,a⊥AO求证：a⊥PO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知:PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且aα，a⊥AO求证：a⊥POPaAoα证明：线面垂直定义判定定理线面垂直定义线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直三垂线定理①PA⊥αaαPA⊥aAO⊥a②PO平面PAOa⊥PO③a⊥平面PAO三垂线定理：PaAoα提问:若将条件a⊥AO与结论中a⊥PO交换位置是否还成立？线射垂直线斜垂直三垂线定理已知:PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且aα，a⊥AO求证：a⊥PO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的垂直，那么它也和这条垂直。射影斜线在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条垂直，那么它也和这条斜线的垂直。PaAoα已知:PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且aα，a⊥PO求证：a⊥AO斜线射影三垂线定理证明:PA⊥αaα①②PA⊥aPO⊥aa⊥AOa⊥平面PAOAO平面PAO③在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。三垂线逆定理：线斜垂直线射垂直已知:PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且aα，a⊥PO求证：a⊥AOPaAoα三垂线定理(1)、三垂线定理及逆定理描述的是PA(垂线)与α(平面)、AO(射影)与a(直线)、PO(斜线)与a(直线)之间的垂直关系;(2)、a与PO可以相交，也可以异面;(3)、三垂线定理实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理;逆定理是平面内一条直线和斜线的射影的垂直的判定定理.三垂线定理使用三垂线定理及逆定理还应注意的问题…αPAOadcb三、例题分析：例1、判定下列命题是否正确?(1)若b是平面α的斜线、直线a垂直于b在平面α内的射影，则b⊥a。()(2)若b是平面α的斜线、平面α内的直线a垂直于b在平面α内的射影，则b⊥a。()×√三垂线定理仔细想一想…例2.如图；PA⊥面ABC，AB是圆O的直径,C是圆O上的任一点（异于A、B两点).则图中直角三角形的个数是()A1个B2个C3个D4个三、例题分析:D想想有几个？PCBA例3、路旁有一条河，彼岸有电塔AB，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？解：在路边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，再在道边取一点D，使水平角∠CDB等于45°，测得C、D的距离等于am.BAC90°D45°三垂线定理三、例题分析：BAC90°D45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=am∴BC=am，答：电塔顶与道路的距离是因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。三垂线定理测出仰角∠ACB=θ,于是有AC=maACBBCcoscosθmacos(1)已知:PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点.求证：PO⊥BD，PC⊥BD证明:ABCD为正方形O为BD的中点AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD同理，AC⊥BDAC是PC在ABCD上的射影PC⊥BD四、课堂练习:三垂线定理POABCDPMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMBC⊥AM证明:PB=PCM是BC的中点PM⊥BCPA⊥平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影三垂线定理1、三垂线定理五、课堂小结(3)操作程序分三个步骤——“一垂,二射,三证.”(1)定理中四条线均针对同一平面而言(2)应用定理关键是找“基准面”这个参照系三垂线定理2、三垂线逆定理PaAoα六、课后作业:书P25的习题9.4的3、4题,并预习后面的内容.