变量分离方程与变量变换

第二章一阶微分方程的初等解法把微分方程的求解问题化为积分问题.一阶微分方程一般可表示为F(x,y,y)=0,若关于y可解出,则可写作:,),(yxfy;),(ddyxfxy或还可写作对称形式:,0d),(d),(yyxQxyxP微分方程求解时的一个约定:在数学分析课程中,用表示函数f(x)的原函数族,即里面含有一个任意常数.xxfd)(但在微分方程课程中,我们常用表示f(x)的某一个原函数,xxfd)(例如:.d22xxx§2.1变量分离方程与变量变换一、变量分离方程二、可化为变量分离的方程三、应用举例一、变量分离的微分方程),(ddyxFxy引例:).1(dd22yxxy.cos2xyy定义1形如)1.2()()(ddyxfxy的方程,称为变量分离方程..,)(),(的连续函数分别是其中yxyxf变量分离方程求解方法)1.2()()(ddyxfxy,0)(时当y1、分离变量,得,d)()(dxxfyy2、两边积分,得)2.2(d)()(dcxxfyy的某一个原函数)(1y的某一个原函数)(xf3、求出通解.)()(cxFyG微分方程的隐式通解.,,)1.2(,0)(,.4000必须予以补上中它不包含在方程的通解可能的解也是则使若存在yyyy例1(1)求解方程).1(dd22yxxy解分离变量,xxyyd1d22两端积分,得C∴通解为.31arctan3Cxy)(为任意常数C.1,0)2(的解求其满足yx解,1,0代入将yx,4C得.431arctan3xy所求特解为例2求解方程.cos2xyy解当y0时,分离变量,得,dcosd2xxyy两端积分,得,dcosd2xxyy,sin1Cxy解得∴通解为.sin1Cxy)(为任意常数C.0也是方程的解此外y例3求下列微分方程的通解:.0)1(.132xyy.43)1(43Cxy.0d)1(d)1(.222yxyxyxCxy)1ln()1ln(22例4求解微分方程.2ddxyxy解当y0时,分离变量,得,d2dxxyy两端积分,,d2dxxyy,||ln12Cxy得即,1CeC令,2xCey得说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,可能增、减解.,0也是方程的解此外y故方程的通解为).(,2为任意常数CCeyx例4求解微分方程.2ddxyxy解当y0时,分离变量,得,d2dxxyy两端积分,,d2dxxyy得,ln12Cxy,2xCey即,0也是方程的解此外y故方程的通解为).(,2为任意常数CCeyx例5求微分方程yxpxy)(dd.)(,的连续函数是其中的通解xxp解变量分离得xxpyyd)(d两边积分得1d)(lnCxxpy,d)(xxpCey即,0也是方程的解此外y故方程的通解为).(,d)(为任意常数CCeyxxp例6).(,lnd02xyyxyxx求设解得求导方程两边同时对,x,dd12xyyyx分离变量,并积分得,dd22xxyy,31113Cxy解得.33Cxy即,1,0:yx时当由已知可得,3C.333xy例6).(,lnd02xyyxyxx求设说明:1.此问题是求解积分方程.求解积分方程一般可化为求解微分方程问题.2.注意判断题中是否隐含初值条件.积分方程的解若一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.积分方程.ttyeyxx程就是一个简单的积分方如,d)(:0.)(,))(,()(),(],[,),(0000为该积分方程的解则称上恒成立在区间使得上的连续函数如果存在定义在区间对于积分方程xyIdtttfyxxyIdtytfyyxxxx变量分离方程的通解中含有任意常数c,cxFyG)()(其可化为,0),,(cyxL是一族积分曲线.二、可化为变量分离的微分方程对于有些微分方程,虽然表面上看不是变量分离的微分方程,但若能通过一次或几次变量变换化为变量分离的微分方程,则原方程也可用初等解法求解.下面介绍几种典型的可通过适当的变量变换化为变量分离的微分方程类型.(1)齐次方程.)(dd的方程形如xygxy.,,,,,,dd)2(222111222111为任意常数其中的方程形如cbacbacybxacybxafxy(1)形如)5.2()(ddxygxy的方程称为齐次方程,其中g(u)是u的连续函数.求解方法:,1stepxyu作变量代换,xuy即代入原方程,得.xuugxu)(dd得解变量分离方程,2stepxxuugud)(d,)(d)(uufuu记,)(ucex得.3step变量还原.,)(xycexxyu得代入将例1求解微分方程.tanxyxyy解,xyu令代入原方程得,tanuuuxu分离变量,,ddsincosxxuuu两边积分,得即,||ln||ln|sin|lnCxu,sinxCu即故原方程的通解为.sinxCxy(当C=0时,y=0也是方程的解)例2求解微分方程).ln(lnxyyyx解,lnxyxyy方程可化为：,xyu令代入原方程得,lnuuuxu分离变量,两边积分,得,d1)1(lndxxuuu,||ln||ln|1ln|lnCxu,1lnuCx即故原方程的通解为.1lnlnCxxy(2)形如,dd222111cybxacybxaxy),,,,,(222111为常数cbacba的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论：的情形0)121ccybxaybxaxy2211dd)(2211xygxybaxyba为齐次方程,由(1)可化为变量分离方程求解.的情形0)22121bbaa则方程可改写成设,2121kbbaa222111ddcybxacybxaxy222122)(cybxacybxak)(22ybxaf则方程化为令,22ybxau)(dd22ufbaxu这就是变量分离方程.不同时为零的情形与且2121210)3ccbbaa,00222111cybxacybxa则,平面两条相交的直线代表xoy).0,0(),(解以上方程组得交点作变量代换(坐标变换),yYxX则方程化为YbXaYbXaXY2211dd为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.解题步骤:,00)1222111cybxacybxa由,yx解得方程化为令,)2yYxXYbXaYbXaXY2211dd),(XYg,,)3离方程将以上方程化为变量分再令XYu,)4求解所得变量分离方程.,)5得所求通解变量还原例3.31dd的通解求yxyxxy解,0301yxyx令,21yx,21YyXx令,11ddXYXYYXYXXY代入原方程得，令XYu,11dduuXuXu方程变为分离变量,并积分,得:,dd1212XXuuuu,||ln|12|ln2112CXuu即,)12(22CuuX,222CXXYY即,2,1代入上式将yYxX得原方程通解为.)1()2)(1(2)2(22Cxyxy.62222Cyxyxyx或注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.)()(dd)(dd2211222111XYgYbXaYbXafXYcybxacybxafxy此外以下一些类型的方程亦可通过适当的变量代换化为分离变量的方程.)(dd)1(cbyaxfxycbyaxu令0d)(d)()2(yxyxgxxyyfxyu令)(dd)3(2xyfxyxxyu令)(dd)4(2xyxfxy2xyu令例1.)(dd2的通解求yxxy.)arctan(Cxyx例2.)1(sin2的通解求yxy.)1tan(Cxyx例3.)ln(ln的通解求微分方程yxyyyx.lnlnCxyx例1.)(dd2的通解求yxxy解,uyx令,1ddddxuxy则有代入原方程,得,1dd2uxu,d1d2xuu,arctanCxu解得.)arctan(Cxyx原方程的通解为例2.)1(sin2的通解求yxy解令,1yxu故有,sin12uu,tanCxu解得.)1tan(Cxyx所求通解为:,cosdd2uxu即例3.)ln(ln的通解求微分方程yxyyyx解,xyu令,yyxu则,lndduxuxu代入原方程得,dlndxxuuu,ln)ln(ln1Cxu解得,lnxCxy即,lnlnCxyx所求通解为.lnlnCxyx备注：：)(ddxygxy齐次方程:化为变量分离方程还可通过变量代换yxww.wgxw)1(1dd可参考课本Page42.*三、应用举例对应用问题也可用“元素法”建立微分方程.例某车间体积12000m3,开始时空气中含有0.1%的CO2,为降低车间空气中CO2的含量,用一台风量为每分钟2000m3的鼓风机通入含0.03%的CO2的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内CO2的百分比降低到多少?解设鼓风机开动t分钟后CO2的含量为x(t)%,在[t,t+dt]内,CO2的通入量,03.0d2000tCO2的排出量),(d2000txtCO2的改变量=CO2的通入量CO2的排出量xd12000),(d2000txt03.0d2000t,d)03.0(d6txx,d6103.0dtxx,61|03.0|ln1ctx解得,03.061tCex即,1.0|0tx,07.0C,07.003.061tex1607.003.0|ext,056.0故6分钟后,车间内CO2的百分比约降低到0.056%.作业:p42—43:1.(1)(2)(4)(5)2.(2)(3)4.