(教师1份) 第12讲(相似三角形的基本模型)

第12讲相似三角形的基本模型一、相似三角形的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）ABCDE（平行）CBADE（不平行）（二）8字型、反8字型JOADBCABCD（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：第2页共18页CAD二．例题精讲作辅助线构造“A”“X”型例1：如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=31AD，CE交AB于点F．若AF=1.2cm，则AB=______cm．作DG∥CF于G，根据平行线等分线段定理，得BG=FG，根据平行线分线段成比例定理，得：AF/AG=AE/AD，AG=3.6cm，则FG=2.4cm，所以AB=1.2+4.8=6cm．例2：已知：在△ABC中，AD为中线，F为AB上一点，CF交AD于E，求证：AE:DE=2AF:BF证明：如图，过点D作DG∥CF交AB于G点．∵DG∥CF，D为BC中点，∴G为BF中点，FG=BG=1/2BF,∵EF∥DG，∴AE:DE=AF:GF=AF:1/2BF=2AF:BF．例2：如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF=2DE·AF.第3页共18页证明:过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，∴DN=BF.∵DN∥AF，∴△AFE∽△DNE，∴=.又DN=BF，∴=，即AE·BF=2DE·AF.双垂型例1.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB∴∵A（2，1），＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x第二种情况，图象经过第二、四象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°第4页共18页由双垂直模型知：△OCA∽△ADB∴∵A（2，1），＝45°∴OC＝1，AC＝2，AO＝AB∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2∴D点坐标为（3，1）∴B点坐标为（3，﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y＝x例2.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．证明：方法一：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC根据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC：CN=PD：DC∵PD=DA∴MC：CN=DA：DC∵PD//BC∴DA：DC=PA：PB∴MC：CN=PA：PB方法二：如图，过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E由双垂直模型，可以推知△PMD∽NPE，则，根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，∴MC：CN=PA：PB练习：1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED（1）∵∠A=∠A,∠ADB=∠AEC=90°,∴△ABD∽△ACE．（2）∵ABD∽△ACE,∴AD/AB=AE/AC,∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC．2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DEABC第5页共18页DE=62，求：点B到直线AC的距离。EDABC3、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FCFBFD2．证明：连接AF，∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，又EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD，∴∠CAF=∠B，∵∠AFC=∠AFC，∴△ACF∽△BAF，即CF/AF=AF/BF∴AF2=CF.BF，即FD2=CF.BF．2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)△AME∽△NMD;(2)ND2=NC·NB∵EF垂直平分AD∴∠NMA＝∠NMD＝90∴∠DNM+∠ADC＝90∵∠ACB＝90∴∠CAD+∠ADC＝90第6页共18页∴∠DNM＝∠CAD∴△AME∽△NMD（AA）2、∵EF垂直平分AD∴NA＝ND∴∠NAD＝∠NDA∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∵∠NAD＝∠NAC+∠CAD,∠NDA＝∠B+∠BAD（三角形ABD外角）∴∠NAC＝∠B∵∠ANC＝∠BNA（公共角）∴△ANC∽△BNA（AA）∴NA/NC＝NB/NA∴NA²＝NC×NB∴DN²＝NC×NB4、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。求证：EB·DF=AE·DB母子型一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高．结论：（1）△ACD∽△CBD，△BDC∽△BCA，△CDA∽△BCA（2）△ACD∽△CBD中，2CDADBD△BDC∽△BCA中，2BCBDAB△CDA∽△BCA中，2ACADAB2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD∽△ABC中，2ACADAB类型一：三角形中的母子型例1：.如图,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.ADCBADCB第7页共18页【练】如图，D是△ABC的边AB上一点,连结CD.若AD=2，BD=4,∠ACD=∠B求AC的长.DCBA【例2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FCFBFD2【练】已知CD是ABC的高，,DECADFCB，如图，求证：CEFCBA∽类型二：直角三角形中的母子型例1：.如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC的延长于H，求证：2DFFGFH第8页共18页HGFEDCBA∵DF⊥AB,∠ABE=90°-∠BAC=∠H∴△BFG∽△HFA∴BF/FH=FG/AF∴FG*FH=BF*AF---------(1)∵DF⊥AB,AD⊥BC∴△DBF∽△ADF∴DF/AF=BF/DF∴DF*DF=BF*AF---------(2)由(1)(2)式,可看出：DF2=FG*FH练习：1.如图5,RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.2.如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.3.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高.若AD=2，BD=4,求CD的长.CBAD例2：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OEOAOC2．分析：由平行线分线段成比例可得对应线段成比例，进而通过线段之间的转化即可得出结论．证明：∵AD∥BC，∴=，第9页共18页又BE∥CD，∴=，∴=，即OC2=OA•OE．例3：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上,ABCDEB．求证：（1）DADEDB2；（2）DACDCE．证明：（1）在△BDE和△DAB中∵∠DEB=∠ABC，∠BDE=∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴DE/BD=BD/AD,∴BD2=AD.DE．（2）∵AD是中线，∴CD=BD，∴CD2=AD.DE，∴CD/DE=AD/CD又∠ADC=∠CDE，∴△DEC∽△DCA，∴∠DCE=∠DAC．例4：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EGEFBE2．分析：先连接CE，由于AB=AC，AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一定理可得BE=CE，再利用等边对等角可知∠EBC=∠ECB，易证∠ABE=∠ACE，结合CG∥AB，利用平行线的性质，可证∠CGF=∠FCE，再加上一组公共角，可证△CEF∽△GEC，于是CE2=EF•EG，从而有BE2=EF•EG．证明：连接CE，如右图所示，∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的角平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，又∵∠ABC=∠ACB，∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB，即∠ABE=∠ACE，又∵CG∥AB，∴∠ABE=∠CGF，∴∠CGF=∠FCE，又∠FEC=∠CEG，ACDEB第10页共18页∴△CEF∽△GEC，∴CE：EF=EG：CE，即CE2=EF•EG，又CE=BE，∴BE2=EF•EG．“K字型”相似专题【一】K字型相似基本图形1:条件：B，C，E三点共线,∠B=∠ACD=∠E=90°结论：△ABC∽△CED【应用】例1：如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．（1）若点F与B重合，求CE的长；（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长．解：（1）∵F与B重合，且EF⊥DE，备用图∴DE⊥BC，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，∴四边形ABED为矩形，∴BE=AD=9，∴CE=12-9=3．（2）作DH⊥BC于H，则DH=AB=7，CH=3．设AF=CE=x，∵F在线段AB上，∴点E在线段BH上，CH=3，CE=x，∴HE=x-3，BF=7-x，∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，∴∠BEF=∠HDE，又∵∠B=∠DHE=90°，∴△BEF∽△HDE，∴BF:HE=BE:DH∴，整理得x2-22x+85=0，（x-5）（x-17）=0，∴x=5或17，ABCDEABCDEABCDE第11页共18页经检验，它们都是原方程的解，但x=17不合题意，舍去．∴x=CE=5．解：（1）∵F与B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，∴四边形ABED为矩形，∴BE=AD=9，∴CE=12-9=3；（2）作DH⊥BC于H，则DH=AB=7，CH=3，例2：.探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：（1）请就图①证明上述“模块”的合理性．已知：∠A=∠D=∠BCE=90°，求证：△ABC∽△DCE；（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：①如图②，已知点A（-2，1），点B在直线y=-2x+3上运动，若∠AOB=90°，求此时点B的坐标；②如图③，过点A（-2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y=-2x+3于点C、D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标．（1）证明：∵∠BCE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°．∵∠A=90°，∴∠ACB+∠B=90°，∴∠DCE=∠B．∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DCE；（2）①作AG⊥x轴于点G，BH⊥x轴于点H∴△AGO∽△OHB，∴AG:OH=GO:BH