中考必考的几个几何模型[精排版](打印稿)

目录第一章8字模型与飞镖模型..............-1-第二章角平分线四大模型...............-5-第三章截长补短......................-10-第四章手拉手模型....................-13-第五章三垂直全等模型................-15-第六章将军饮马......................-17-第七章蚂蚁行程......................-25-第八章中点四大模型..................-29-第十章相似模型......................-39-第十一章圆中的辅助线..................-50-第十二章辅助圆........................-55--1-ODCBA图12图EABCDEFDCBAOO图12图EABCDEDCBAHGEFDCBA第一章8字模型与飞镖模型模型1角的“8”字模型如图所示，AB、CD相交于点O，连接AD、BC。结论：∠A+∠D=∠B+∠C。模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=。热搜精练1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=；（2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=。2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=。-2-DCBAMDCBAO135EFDCBA105OO120DCBA模型2角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D=∠A+∠B+∠C。模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M。探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系。热搜精练1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=；2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=。第2题图第1题图-3-OCBAODCBAODCBAOCBA模型3边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC。结论：AC+BDAD+BC。模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。求证：（1）AB+BC+CD+ADAC+BD；（2）AB+BC+CD+AD2AC+2BD.模型4边的飞镖模型如图所示有结论：AB+ACBD+CD。模型实例如图，点O为三角形内部一点。求证：（1）2（AO+BO+CO）AB+BC+AC；（2）AB+BC+ACAO+BO+CO.-4-EDCBA21PABCP图3ABCP图21图PCBA热搜精练1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。求证：AB+ACAD+AE。2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。（1）如图①，△ABC中，P为边BC上一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由；（2）如图②，将（1）中的点P移至△ABC内，请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由；（3）图③将（2）中的点P变为P1、P2，请比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由。-5-NMOABP2图4321ACPBDABC图1ABDCABDCP第二章角平分线四大模型模型1角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。结论：PB=PA。模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。模型实例（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是；（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。求证：AP平分∠BAC。热搜精练1.如图，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分∠ABC。2.求证：∠BAD+∠BCD=180°。2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=。-6-PONMBA图2DPABCDC1图PBAABCDABCDEDCBA模型2截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。结论：△OPB≌△OPA。模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。模型实例（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。热搜精练1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。求线段BC的长。2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。求证：BC=AB+CD。3．如图所示，在△ABC中，∠A=100°，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。-7-PONMBAEDCBA21EDCBAEDCBA模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。结论：△AOB是等腰三角形。模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。模型实例如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E。求证：BD=2CE。热搜精练1．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C。2．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E。求证：BE=12（AC-AB）。-8-QPONMFAEBCD2图AEBDFC1图FGE图3DCNMBA模型4角平分线+平行线如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。结论：△POQ是等腰三角形。模型分析有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。模型实例解答下列问题：（1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由。（3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？-9-AEBCNMFDAEBCDAEBC热搜精练1．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC于点N。若BM+CN=9，则线段MN的长为。2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E、F分别在BD、AD上，EF∥AB，且DE=CD。求证：EF=AC。3.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。求证：AD=AB-BC。-10-32HABFE1GEFDCBADCBAOGABCD第三章截长补短模型截长补短如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。截长法：如图②，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。补短法：如图③，延长AB至H点，使BH=CD，再证明AH=EF即可。模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。模型实例例1．如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D。求证：AB=AC+CD。例2．如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A=∠GBD。求证：AO+BO=2CO。-11-ABCDOEABCDEABCDEABCDFEABCDEABCD热搜精练1．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD。求∠ABC的度数。2．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。求证：AC=AE+CD。3．如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD。求证：AB+CD=BC。4．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∠C=30°，BE⊥AD于点E。求证：AC-AB=2BE。5．如图，Rt△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E。求证：AD=2DF+CE。6．如图，五边形ABCDE中，AB=AC，BC+DE=CD，∠B+∠E=180°。求证：AD平分∠CDE。-12--13-EADBCEADBCEDCBA图3图21图OHGABCDFGHDECBA第四章手拉手模型模型手拉手如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=。结论：△BAD≌△CAE。模型分析手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。模型实例例1．如图，△ADC与△EDC都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，问：（1）AG与CE是否相等？（2）AG与CE之间的夹角为多少度？例2．如图，直线AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形，连接AE、CD，二者交点为H。求证：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）∠DHA=60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）连接GF，GF∥AC；（7）连接HB，HB平分∠AHC。-14-FECBAHDECBAMPDECBABADCPE3图BDAEC图21图PDECBA热搜精练1．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF。（1）求证：BE=BF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数。2．如图，△ABD与△BCE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点H．证明：（1）AE=DC；（2）∠AHD=60°；（3）连接HB，HB平分∠AHC。3．在线段AE同侧作等边△CDE（∠ACE120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点。求证：△CPM是等边三角形。4．将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图①方式放置，∠A=90°，AD边与AB边重合，AB=2AD=4。将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度（0°180°），BD的延长线交CE于P。（1）如图②，证明：BD=CE，BD⊥CE；（2）如图③，在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求出CP的长。-15-CDEBA图21图4图BAECD图3CDEBACDEBAEDCBAABCOxy(-1,0)(0,3)图21图(0,3)(-2,0)yxOCBA第五章三垂直全等模型模型三垂直全等模型如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。结论：Rt△BCD≌Rt△CAE。模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。模型实例例1．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE