信息光学chap1傅里叶分析

通信理论引入光学•Maxwell方程的正确性，把电与光有机地统一起来。•光学信息处理是电子通信理论的发展，解决了电子信息处理的瓶颈问题。•许多电子通信理论及技术可以用来指导光学信息处理理论。•从一维线性理论发展到二维光学线性理论是有条件的、近似的。第一章傅里叶分析信息处理系统线性系统可以用傅里叶变换分析方法来描述非线性系统除一些特例外没有统一的理论描述物理上，实际应用中，大多数系统不是严格的线性系统，但在某些条件或一定近似下可以作为线性系统来处理。许多光学系统就是如此。数学基础常用函数—变型xf(x)xf(x-x0)x0xf(x/a)xf(-x)x-f(x)xbf(x)平移(原点移至x0)折叠与f(x)关于y轴镜像对称取反与f(x)关于x轴镜像对称倍乘y方向幅度变化比例缩放a1,在x方向展宽a倍a1,在x方向压缩a倍常用函数—变型（例）xf(x)01x,0x10其它例:f(x)={求f(-2x+4)解：f(-2x+4)=f[-2(x-2)]，包含折叠、压缩、平移xf(-x)0-1先折叠xf(-2x)0-1/2再压缩x0f[-2(x-2)]3/2最后平移cos(x),|x|p/20其它求f(-x/2+p/4)练习：f(x)={常用函数—变型（练习）先折叠，偶函数折叠后不变xf(x)0p/2-p/2解：f(-x/2+p/4)=f[-(x-p/2)/2]，包含折叠、扩展、平移再扩展,最后平移求f(-x/2+p/4)曲线下面积:-dxxfS)(注意：在缩放前后的变化cos(x),|x|p/20其它f(x)={xf(-x)0p/2-p/21.1.1矩形函数（RectangularFunction）一维矩形函数定义0011,()20,xxxxrectaa--其它的矩形。，高度为为中心，宽度为表示以10ax。为偶函数。时，形式为＝；＝当)(xrectax100二维形式：00rect()rect()xxyyab--当x为空间变量时，常用一维矩形函数表示不透明屏上透光缝的透过率；二维表示矩形透光孔的透过率。其中a,b0当x为时间变量时，可表示一个时间方波，如：电路中的开关（闸门）作用；相机的快门；x0axyaxx0,y0yab0)(rect)(rect00byyaxx--矩形函数与某函数相乘时，可限制函数自变量的取值范围，起到截取函数的作用，故又称它为“门函数”。例如：()cosxrectxb请大家画出它的图示。1.1.2sinc函数定义：000sin()/sinc()()/xxxxaaxxapp---式中a0当x0=0，a=1时，上式变为:sinsinc()xxxpp当x=x0处有最大值1，零点位于x-x0=na，两个一级零点之间的宽度为主瓣宽度为2a.二维形式：其中a,b0sin(,)sin()sin()xyxycccabab描述狭缝或矩形孔的夫琅禾费衍射图样。xsinc2(x)01-11sinc(x)sinc2(0)=1,S=1与sinc(x)相比,曲线形状不同,但曲线下面积相同sin2(px)(px)2附:sinc2函数sinc2(x)=[sinc(x)]2sinc函数的重要性:数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换；物理上,单一矩形脉冲rect的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc2函数。二维三角形函数：(,)()()xyxytritritriabab其中a,b0可用三角形函数表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。1.1.4符号函数10sgn()0010xxxx-定义：符号函数和某函数相乘，可使该函数在某点的极性（正负号）发生翻转。例如，某孔径的一半嵌有p位相板，则可利用符号函数描述其复振幅透过率，即代表“p”相移器、反相器。阶跃函数在x=0点处有一间断点，当它和某函数相乘，在x0的部分，乘积等于原函数；在x0的部分，乘积恒等于0。因而阶跃函数的作用如同一个“开关”，可在某点“开启”或“关闭”另一个函数。常用它表示直边（或刀口）的透过率。circ函数是不可分离变量的二元函数；描述无穷大不透明屏上半径为a的圆孔的透过率。ayxcirc22a01.1.7高斯函数GaussianFunctionGaus(x)=exp(-px2)Gaus(0)=1S=1是非常平滑的函数,即各阶导数均连续.Gaus(x)0x二维情形:Gaus(x)Gaus(y)=exp[-p(x2+y2)]可代表单模激光束的光强分布1.1.8复指数函数ComplexexponentialfunctionAexp(j)=Acos+jAsin：振子的位相角对于简谐振动，=2pt推广到二维：Aexp[j2p(fxx+fyy)]A0w=2p注意以上定义的函数，其宗量均无量纲。在处理实际问题时，要根据所取的单位采用适当的缩放因子。例:以rect(x)代表单缝。若x单位为cm，则rect(x)代表宽度为1cm的单缝。若x单位为mm，则rect(x/10)代表宽度为1cm的单缝。作业1.1已知函数U(x)=Aexp(j2pf0x)求下列函数，并作出函数的图形(1)|U(x)|2(2)U(x)+U*(x)(3)|U(x)+U*(x)|21.2已知函数f(x)=rect(x+2)+rect(x-2)求下列函数，并作出函数的图形.(1)f(x-1)(2)f(x)sgn(x)1.3画出下列函数的图形(1)(2)(3)(4)-2rect4rect)(xxxf)tri(2tri2)(xxxg-)tri(22tri2)(xxxh-))step(tri()(xxxp脉冲函数的物理意义可描述:单位质量质点的密度单位电量点电荷的电荷密度单位光通量点光源的发光度单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等等0xd(x)110xd(x,y)yd-函数的图示:练习:画出rect(x),10rect(10x),sinc(x),10sinc(10x)的示意图.(由定义3直接可证)与普通函数缩放性质的区别:普通函数:因子a不影响函数的高度,但影响其宽度d-函数:因子a不影响函数的宽度,但影响其高度任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数5.偶函数性质1()cos2xxddwwp-d(x,y)=d(-x,y)=d(x,-y)=d(-x,-y)6.d函数的积分形式1()2ixxedwdwp-练习：计算1.sinc(x)d(x)2.sinc(x)d(x-0.5)3.sinc(x)d(x-1)4.(3x+5)d(x+3)1.梳状函数-comb函数的定义a.一维梳状函数定义：()()nncombxxnd--()combx1x01-2-3-123——由无数个δ函数组成——每个δ函数都落在整数坐标上在光学上，常用它来表示光栅常数d=1的一维细缝光栅的振幅透射系数。单位光通量间隔为1个单位的点光源阵列的亮度，可用一个一维梳状函数表示。间隔为t的脉冲系列:)(comb1)(1)(tttdttdxnxnxnn----b.二维梳状函数：()()nncombxxnd--()()nncombyynd--(,)()()combxycombxcomby(,)combxy1x01-2-3-123y光学意义：光学上二维梳状函数表示点光源的阵列，或者小孔阵列的透过率函数。例题1：证明：()()exp()()2xcombcombxjxcombxp证明：因为左边()()22nxxcombnd--1(2)12nxnd--2(2)nxnd--而右边()exp()()combxjxcombxp[()exp()]()nnxnjxxndpd----[()exp()]()nnxnjnxndpd----[()(1)]()nnnxnxndd-----因为exp()cos()sin()(1)njnninppp-讨论：右边(21)(21)0kkxkxkdd-------20当n为偶数，即n=2k，此时k为整数：10当n为奇数时，即n=2k+1,此时k为整数：右边(2)(2)kkxkxkdd----2(2)kxkd--2(2)nxnd--当n=k，二者定义域和值域都一样。左边＝右边。证毕。例题2：写出下图函数g(x)的表达式。0x0xg(x)……….………b1写出第一个δ函数的表达形式:0()xxd-写出第n个δ函数的表达形式:0()xxnbd--写出g(x)的表达形式:0()nxxnbd---思考：g(x)的comb函数表述形式？2梳状函数的性质(1)比例变换性质1()()nncombaxxaad--有偏置x0的comb函数表现形式？001[()]()nncombaxxxxaad----证明：()()ncombaxaxnd--[()]nnaxad--1()nnxaad--1()nnxaad--证毕！(2)偶函数性质()()combxcombx-注意：有偏置x0的comb函数无此特性！证明：因为1()()nncombaxxaad--当a=1时：()()ncombxxnd--当a=-1时：()()kcombxxkd--()nxnd--证毕！(3)周期性()()combxcombxn(4)平移性质11()()22combxcombx-(5)积分性质1212()1nncombxdx-(6)抽样性质()()()()ncombxgxxngxd--()()nxngnd--有偏置和缩放的comb函数的抽样性质：0011[()]()()()nxxxxcombgxngxbbbbd----00()()ngxnbxxnbd---（b为正实常数）x0()gx抽样函数x0b()sgxx0正实数常数bx0x01000-1[()]()()()bnnxxcombgxgxnbxxnbbd---()(x)()nncombxggxn--(7)卷积性质有偏置x0和缩放的comb函数的卷积特性？[()]()()n=00n=-x-x1combgx=gx-x-nbbbx0()gx复制函数b正实数常数x0x01x0b()sgxx000-1[()]()(-)bnnxxcombgxgxxnbb--例题3：用梳状函数和矩形函数的运算关系式表示下图所示是一块由25条线的实际罗奇光栅的函数g(x)表达式(单位为:mm)0xg(x)0.20.10.4…………练习1、已知连续函数f(x)，若x0b0,利用d函数可筛选出函数在x=x0+b的值，试写出运算式。2、f(x)为任意连续函数，a0,求函数g(x)=f(x)[d(x+a)-d(x-a)并作出示意图。3、已知连续函数f(x)，a0和b0。求出下列函数：(1)h(x)=f(x)d(ax-x0)(2)g(x)=f(x)comb[(x-x0)/b]1:2:3:g(x)=f(x)[d(x+a)-d(x-a)])(])([)(00bxfdxbxxxf--d=f(x)d(x+a)-f(x)d(x-a)=f(-a)d(x+a)-f(a)d(x-a)h(x)=f(x)d(ax-x0)--axxaaxxa001dd-axxaxfa001d作图解：bx-xcomb)()(0xfxgbx-xbb0comb1])([0--nnbxxbd])([)(00--nnbxxnbxfb