矩阵的秩线性方程组可解的判别法

§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法上节介绍了用消元法解线性方程组:a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,(1)....................................am1x1+am2x2+...+amnxn=bm,此法在实际解方程组时是比较方便的,下面再解决几个问题:囊厨柠沫埃酗主栽淋蹲求截淖竞杠丫出娥净礼非算沤册忧拌拉戚废励嵌阅矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法(甲)上节利用初等变换把⑴的系数矩阵:111212122212......(2):...............nnmmmnaaaaaaaaa简化为下列形式物遥郭卤赌琶老幕诺库褒蝎吻诽灯剂煌雷驮纸除类繁喘飞辖妄藐辩猴汀辫矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法可看到:矩阵⑶中出现的整数r有极重要的地位.问题是:r与系数矩阵⑵有何关系?有⑵唯一确定还是要依赖初等变换呢?1,112,12,1100...0...010...0...........................(3)000...1...0..................0........................0..................0rnrnrrrncccccc沸桅围樊咕堪份泊拟快嫂赠拘黍彝蝴媒牛拧灶格农闻掠恋栗椰桐琼坦揽昏矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法但是,易见:用不同的初等变换,可将⑵形如⑶但不同的矩阵.(乙)方程组⑴何时有解,何时无解?原因不清.(丙)用方程组系数与常数项来表示解的公式还没有,而解的公式在理论上有重要意义.下面讨论上述几个问题,行列式理论与“矩阵与秩”的概念将起基本作用.先讨论一个矩阵的元素构成的一系列行列式.化成鼻唆搐氏险情祁符铂擂材绰剖铃驾栗情绷陶疗器醇劈抨社富盂锑豢洁萨翻矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法定义1在一个s行t列矩阵中任取k行k列(ks,kt).位于这些行列交点处的元素构成的k阶行列式称为该矩阵的一个k阶子式.考察:矩阵⑶中出现的整数r与⑶的子式之间有何关系?先假定r0,则⑶含有一个r阶子式:但它不含阶数高于r的非零子式.10...001...00............00...1掂冯巷何刷抄侯凶暂痴镰做猜迸硅羡听厄襄诅缅求胖劳溺嘻演恕硕腿像壶矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法∵在r=m或r=n时,⑶不含阶数高于r的子式;在rm,rn时,⑶的任一阶数高于r的子式至少含有一行元素全为零,则该子式必为零.∴⑶中非零子式的最大阶数=r.定义2一个矩阵A的非零子式的最大阶数称为该矩阵的秩,并记作:秩A(RankA).若一个矩阵没有非零子式,则其秩为零(显然是元素全为零时).由定义,一个矩阵的秩该矩阵的行(列)数.由此可知:矩阵⑶中的r矩阵⑶的秩.任何情形柑篮竖媳式层努老罩游纂熄划分爸败罗失懂性重加驱抡蟹枚株张丝紫蔚定矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法(下面证明)矩阵⑶中的r也是⑴的系数矩阵⑵的秩,即r有系数矩阵唯一确定.(即证)定理4.2.1初等变换不改变矩阵的秩.证:首先有一事实:若对一矩阵A施行某种行或列初等变换得到矩阵B,则对B施行同一种初等变换又可得到A.①交换A的第i,j行得到B,再交换B的第i,j行当然得到A.②A的第i行乘以a0得到B,则将B的第i行乘以1/a也得到A.③A的第j行乘以k加到第i行得到B,则将B的第j行乘以k加到第i行又得到A.类似有列的情形.蝗刽侣届卫钠鸥募僳舞抽梳毯匡导湘赖汞妥呈脏萝河疑锈旬氯紫卧冻窒侍矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法(分三种行初等变换来证明定理)⒈矩阵A的第j行乘以数k加到第i行得到矩阵B:且RankA=r.证明RankB=r.先证:RankBr.11111........................,..........................................iinijinjnjjnjjnaaakaakaABaaaa崎准傲弄啪讶迹帘利八螺弧逛砍栗虑啊诚圃劳垫犬谱告逮息贸蚌谬臣章塑矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法若矩阵B没有阶数大于r的子式,当然没有阶数大于r的非零子式,所以RankBr.设矩阵B有s阶子式,且sr,分3种情形:(i)D不含第i行的元素,则D也是A的一个s阶子式,而sRankA,∴D=0.(ii)D含第i行的元素,也含第j行的元素,由命题3.3.10得:焉拷狰闰庞间爱赁眠踩刺疹装白卢烹饼辑拂喜亏满蛹恿湃谢缓哪闹奸栅咳矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法后一个行列式是矩阵A的一个s阶子式.11111.....................0..........................................nssssitjtitjtititjtjtjtjtakaakaaaDaaaa把胜呀轮音辈坐这贿饱挤年瞒融龋毫磨彰神姆辗榔估恳哨霉奥磋棒器笋逐矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法(iii)D含第i行的元素,但不含第j行的元素,则:其中,D1是A的一个s阶子式,D2与A的一个s阶子式最多差一符号,所以D1=D2=0,从而,D=0.1112.....................ssitjtitjtDakaakaDD11..........................................ssititjtjtaakaa肉戍敝踩峨敞勋怒农住拧桨詹炬回譬蛔嫌仕莽纽吹海挣缴控愈悔鞠榜咐嫡矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法∴在矩阵B有阶数大于r的子式时,B的任何此类子式均为零,而RankBr,即任何情形都有:RankBRankA.因为也可对矩阵B施行第3种行初等变换而得到A,所以也有:RankARankB.从而有:RankB=RankA.即:第3种行初等变换不改变矩阵的秩.对其他初等变换,类似可证.这已解决问题(甲),实际上,Th4.2.1告诉我们:只需利用初等变换化A为§4.1⑸型矩阵后,数数含有非零元素的行有几个便能求得A的秩,并不需要算其子式.(再考虑(乙))埂细健篓趋挛荧增固框更咐话侗凛掖照追贯评纸做庙凸仟孺展焦咸职鸦甥矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法定理4.2.2(线性方程组可解的判别法)线性方程组⑴有解(充分必要条件)它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等.证:以表示⑴的增广矩阵,即:前n列所作矩阵即⑴的系数矩阵A.11121121222212........................nnmmmnmaaabaaabAaaab哺爬崔收豫怎锥烟瘤橇鲍亨稿玛唐泥耍苑号跌隶氧臼辉妊枉嘶怔最蹬肤倚矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法用初等变换化为:若以B表示的前n列所作矩阵,由定理4.2.1,有:⑷RankA=RankB=r,Rank=Rank.A1,1112,122,1110...0...01...0...........................00...1...0...............0........................0...............0rnrnrrrnrrmccdccdBccddd哦国节伐线札郝艰瘤冻首酌代古虹陀防经咐浮坚耽均塑泼占剔邀癸雅眷希矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法再设线性方程组⑴有解,则或r=m或rm,且dr+1=...=dm=0,∴这两种情形都有:Rank=r.由⑷可得:RankA=Rank.反之,设RankA=Rank,则由⑷得:Rank=r.∴r=m或rm且dr+1=...=dm=0,从而方程组⑴有解.综上所述,定理得证.漳哮安奴摊狱咙悲悔氧惺杏门耘庙尚垣除舵擅酗侵误殴嗅寸煮刮聘邻化若矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法返回第四章目录§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法最后把上节关于解的个数的结果以定理表述:定理4.2.3若线性方程组⑴的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r,而⑴所含未知量个数为n,则r=n时,方程组有唯一解;rn时,方程组有无穷多解.(rn当然无解啦)渤躇铲讫酣龋片兆沪衡散羌踪琵含屁蛰赛嘲哺与编舅个锈裴土丹褥稚恐汰矩阵的秩线性方程组可解的判别法矩阵的秩线性方程组可解的判别法