2019版数学浙江省学业水平考试专题复习模块检测(选修2-1)

模块检测(选修2－1)(时间：80分钟满分：100分)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．对于原命题：“已知a，b，c∈R，若ab，则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中，真命题的个数为()A．1B．2C．4D．0答案B解析原命题与逆否命题同真同假，此题中原命题为假，如c＝0时不成立，逆否命题为假；逆命题为真，所以否命题也为真，故选B.2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆否命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b答案C3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝－4xD．y2＝4x答案A解析因为准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x.故选A.4．方程x2m－2＋y2m＋3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3m0B．－3m2C．－3m4D．－1m3答案A解析由(m－2)(m＋3)0，得－3m2，∵(－3,0)⊆(－3,2)，∴m∈(－3,0)是方程表示双曲线的一个充分不必要条件．5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±32xB．y＝±3xC．y＝±33xD．y＝±32x答案B解析由题意得抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以c＝4，又因为双曲线的离心率e＝ca＝2，所以a＝2，则b＝c2－a2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x，故选B.6．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当m＝－1时，“y＝2x＋m－1有零点”，不能说明“y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”，∴充分性不成立．由“y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”，可得0m1，∴y＝2x＋m－1一定有零点，∴必要性成立．7．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OM→＝xOA→＋13OB→＋13OC→，则x的值为()A．1B．0C．3D.13答案D解析∵OA→，OB→，OC→的系数之和为1，∴x＝13.8．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是()A.35B.5－12C.－1±52D.15答案B解析设椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c,2b,2a，∵椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，∴4b2＝2a·2c，∴b2＝a·c，∴b2＝a2－c2＝a·c，两边同除以a2得e2＋e－1＝0，解得e＝－1±52(舍负)，∴e＝－1＋52.故选B.9．过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于()A.433B．23C．6D．43答案D解析渐近线y＝±3x，将x＝2代入得y1,2＝±23，∴|AB|＝43.10．设抛物线的顶点在原点，其焦点在x轴上，又抛物线上的点A(－1，a)与焦点F的距离为2，则a等于()A．4B．4或－4C．－2D．－2或2答案D解析设抛物线的方程为y2＝－2px(p0)，从而有1＋p2＝2，得p＝2.又a2＝4，故a＝±2，故选D.11．已知双曲线x2a2－y23＝1(a0)的离心率为2，则a等于()A．2B.62C.52D．1答案D解析由e＝ca，得e2＝a2＋3a2＝22，∴a＝1.12．平面α的一个法向量为n＝(1，－3，0)，则y轴与平面α所成角的大小为()A.π6B.π3C.π4D.5π6答案B解析取y轴的方向向量y＝(0,1,0)，设y轴与平面α所成的角为θ0≤θ≤π2，则sinθ＝|n·y||n||y|＝32，即θ＝π3.13．已知双曲线y25－x2m＝1的一个焦点与抛物线x2＝12y的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为()A．y＝±55xB．y＝±255xC．y＝±52xD．y＝±5x答案C解析抛物线x2＝12y的焦点为(0,3)，由双曲线y25－x2m＝1的一个焦点与抛物线x2＝12y的焦点相同，可得3＝5＋m，解得m＝4，即双曲线的方程为y25－x24＝1，可得渐近线方程为y＝±52x.故选C.14．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|等于()A．3B．6C．9D．12答案B解析∵抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2，∴椭圆E的右焦点为(2,0)，∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，c＝2，∵e＝ca＝12，∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，∴椭圆E的方程为x216＋y212＝1，将x＝－2代入椭圆E的方程，解得A(－2,3)，B(－2，－3)，∴|AB|＝6，故选B.15．如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND.若MN→＝xAB→＋yAD→＋zAP→，则x＋y＋z的值为()A．1B．－13C．－23D．－43答案C解析∵MN→＝PN→－PM→＝12PD→－23PC→＝12(AD→－AP→)－23(PA→＋AC→)＝12AD→－12AP→＋23AP→－23(AB→＋AD→)＝－23AB→－16AD→＋16AP→.∴x＋y＋z＝－23－16＋16＝－23.16．若抛物线x2＝my上一点M(x0，－3)到焦点的距离为5，则实数m的值为()A．－8B．－4C．8D．4答案A解析抛物线的准线方程为y＝－m4，所以－m4－(－3)＝5，即m＝－8，故选A.17．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px(p0)的焦点与双曲线的右焦点F2重合，P为抛物线和双曲线的一个交点，且∠PF1F2＝π4，则双曲线的离心率为()A．22B．2C.2D．1＋2答案D解析如图，作PH垂直于抛物线的准线于点H，则∠PF1F2＝∠F1PH＝π4，由抛物线的定义知|PH|＝|PF2|，不妨设|PH|＝|PF2|＝1，则|PF1|＝2，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|＝1，即2c＝1.因为点P也在双曲线上，所以有2a＝|PF1|－|PF2|＝2－1.因此双曲线的离心率e＝ca＝12－1＝2＋1，故选D.18．设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A，如果△APF为正三角形，那么|PF|等于()A．43B．63C．6D．12答案C解析由题意得抛物线的焦点为F32，0，准线l的方程为x＝－32，设抛物线的准线与x轴的交点为B，则点B的坐标为－32，0，因为△APF为等边三角形，PA⊥l，所以∠BAF＝30°，所以|PF|＝|FA|＝2|BF|＝2×3＝6，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．已知抛物线C：x2＝2py(p0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为174，则p＝________.答案12解析由题意可知，该抛物线的焦点为0，p2，准线为y＝－p2，所以4＋p2＝174，故p＝12.20．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y＝±22x，则其离心率为________；若点(4,2)在双曲线C上，则双曲线C的方程为________．答案62x28－y24＝1解析设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则由已知得ba＝22，则离心率e＝ca＝1＋ba2＝62.将点(4,2)代入双曲线方程，得16a2－4b2＝1，结合ba＝22，可求得a2＝8，b2＝4，所以双曲线方程为x28－y24＝1.21．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．答案2解析如图，设双曲线的一个焦点为F，则在△AOF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∠FOA＝60°.∴c＝2a，∴e＝ca＝2.22.如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，SA＝SB＝SC＝4，平面DEFH分别与三棱锥S－ABC的四条棱AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，若直线SB∥平面DEFH，直线AC∥平面DEFH，则平面DEFH与平面SAC所成二面角(锐角)的余弦值为________．答案71530解析取AC的中点G，连接SG，BG分别交HF，DE于M，N，连接MN.易知SG⊥AC，BG⊥AC，又SG∩BG＝G，SG，BG⊂平面SGB，故AC⊥平面SGB.因为AC∥平面DEFH，AC⊂平面SAC，平面SAC∩平面DEFH＝HF，则AC∥HF，所以HF⊥平面SGB，所以HF⊥MN，HF⊥MG，∠NMG即为平面DEFH与平面SAC所成二面角的平面角．同理，由SB∥平面DEFH可知，SB∥DH，又易知MN∥DH，所以MN∥SB，所以∠NMG＝∠BSG.易知SG＝15，BG＝3，所以cos∠BSG＝SB2＋SG2－GB22SB·SG＝71530.故所求二面角的余弦值为71530.三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(10分)若曲线C上的动点M到定点F(2,0)和它到定直线x＝12的距离之比是2.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l：x＋y＋2＝0与曲线C相交于A，B两点，求△FAB的面积．解(1)设M(x，y)，由题意得x－22＋y2x－12＝2，化简可得x2－y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x2－y23＝1，y＝－x－2，得2x2－4x－7＝0，Δ＝16＋56＝720，x1＋x2＝2，x1x2＝－72，|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝6，点F到直线AB的距离d＝42＝22，S△FAB＝12×6×22＝62.24．(10分)如图所示，已知点M(a，3)是抛物线y2＝4x上一定点，直线AM，BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A，B两个不同的点．(1)求点M到其准线的距离；(2)求证：直线AB的斜率为定值．(1)解因为M(a,3)是抛物线y2＝4x上一定点，所以32＝4a，a＝94.因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，所以点M到其准线的距离为94－(－1)＝134.(2)证明由题意知直线MA，MB的斜率存在且不为0，设直线MA的方程为y－3＝kx－94，联立y－3＝kx－94，y2＝4x，得y2－4ky＋12k－9＝0，Δ＝16k2－412k－9＝16k2－48k＋360，因为yA＋3＝4k，所以yA＝4k－3，因为直线AM，BM的斜率互为相反数，所以直线MB的方程为y－3＝－kx－94，同理可得yB＝4－k－3，所以kAB＝yB－yAxB－xA＝yB－yAy2B4－y2A4＝4yB＋yA＝44－k－3＋4k－3＝－23，满足Δ0，所以直线AB的斜率为定值－23.25．(11分)在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连接A1B，A1P(如图所示)．(1)求证：A1E⊥平面BEP；(2)求二面角F－A1P－B的余弦值．(1)证明设正三角形ABC的边长为3a，则由题意可知AE＝a，AF＝2a，∠BAC＝60°，由余弦定理可得EF2＝AF2＋AE2－2AF·AE·cos∠BAC＝3a2，即EF＝3a，AE2＋EF2＝AF2，则AB⊥EF.在折起后的立体几何中，A1E⊥EF，BE⊥EF，所以二面角A1