(第二讲3)离散时间随机过程

离散时间随机过程第二讲复习随机变量随机信号（随机过程）随机信号的集平均时间平均()(,)1xixnTiiN(,)(),xnTixnTni只取单一样本相关分析和谱密度相关定义维纳－辛钦定理平稳随机序列功率谱性质白噪声1相关的含义相关分析这个基本工具提供了两个信号相似性的定量度量，即两个信号之间的相关程度。两个离散时间信号x(n)、y(n)之间的相关序列定义如下：**()()()1lim()()21nxyNNnNxnynlrlxnynlN能量信号功率信号2相关的含义能量信号和功率信号的自相关序列定义如下式：当时，由上式可定义信号的总能量和总功率为。**()()()1lim()()21nxxNNnNxnxnlrlxnxnlN能量信号功率信号0l(0)xxr3序列卷积“卷积和”是求LTI系统输出响应的主要方法，两序列x(n)、h(n)的卷积和定义为：其频域表示为：卷积与两序列的先后次序无关，即卷积可交换：()()()()*()mynxmhnmxnhn()*()()*()xnhnhnxn()()()jjjYeXeHe4相关定理设x(n)和y(n)是能量有限信号，其傅立叶变换为和，令是x(n)和y(n)的互相关函数，是的傅立叶变换，则上两式称为能量信号的相关定理，能量信号x(n)的自相关函数和其频谱函数的平方是傅立叶变换对。()jXe()jYe()xyrm()jxyPe()xyrm*()()()jjjxyPeXeYe2*()()()()jjjjxPeXeXeXe4能量谱离散域帕斯瓦尔Parseval等式上式说明信号x(n)在时域的总能量等于其频域的总能量，且等于其自相关函数在m=0时的值。反映了信号能量E在频域的分布，因此称为信号的能量谱。曲线下所覆盖的频域面积等于信号的总能量。注：对连续信号x(t)，帕斯瓦尔Parseval等式为221(0)()()2jxnErxnXed2()()jjxPeXe2()jXe2()jXe22()()xtdtXfdf4随机信号功率谱随机信号在时间上是无限的，在样本上是无穷多的，因此随机信号的能量是无限的，它应是功率信号（能量无限信号），各态遍历随机信号的自相关定义如下：功率信号不满足傅立叶变换的绝对可积条件，因此其傅立叶变换不存在。对随机信号的频域分析，不再简单的是频谱，而是功率谱。*1lim()()21NNnNxnxnlN5维纳－辛钦定理信号X(n)的自相关序列和自功率谱之间形成一个傅立叶变换对：令得到：()Xrl()jXPe()()()nXXXnrlPzrnzF()()(1)jjnXXnPernejze6维纳－辛钦定理假定X(n)的功率是有限的，那么功率谱的傅立叶反变换必然存在，其反变换即是自相关函数：上述公式所示的维纳－辛钦定理通常用于确定功率谱密度函数。上述“维纳－辛钦定理”对随机信号、确定信号、能量有限信号、能量无限信号都适用。1()()2jjmXXrmPeed()jxPe7各态遍历随机信号的功率谱密度对于各态遍历随机信号X(n)，其自相关函数可以用时间平均来定义，那么类似自相关函数定义其自功率谱也可用时间平均来定义：下面证明上述（1）（2）式两个功率谱定义的等效性。（略）22()1()lim{()}lim{}(2)2121jMjjnxMMnMXePeExneEMM8平稳随机序列功率谱性质性质1对于实序列x(n)，有或性质2对于一般平稳随机序列x(n)，有性质3对于一般平稳随机序列x(n)、y(n)，有下面证明上述性质。()()jjxxPePe()(1/)xxPzPz**()(1/)xxPzPz**()(1/)xyyxPzPz9白噪声定义定义：一个平稳随机序列w(n)，如果其功率谱密度在的范围内始终为一常数（如），我们称该序列为白噪声序列。其自相关函数为：其中，为单位抽样信号。()jwPe221()()()2jjmwwrmPeedm()m10白噪声特点由自相关函数的定义：说明白噪声序列在任意两个不同时刻是不相关的。若w(n)是高斯分布的，那么它在任意两个不同时刻又是相互独立的。以上说明，白噪声序列是最随机的，由w(n)无法预测w(n+1)。2*2m=0()[()()]()0wrmEwnwnmm＝其他